Решение задачи: Найти периметр параллелограмма по диагоналям и углу

Задача Дано: Параллелограмм \(ABCD\). Диагонали \(d_1 = 6\) см, \(d_2 = 10\) см. Угол между диагоналями \(\alpha = 60^\circ\). Найти: Периметр \(P\). Решение: 1. Пусть точка \(O\) — точка пересечения диагоналей. По свойству параллелограмма диагонали точкой пересечения делятся пополам. Следовательно: \[AO = OC = \frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}\] \[BO = OD = \frac{d_2}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}\] 2. Рассмотрим треугольник \(AOB\), в котором угол \(\angle AOB = 60^\circ\). По теореме косинусов найдем сторону \(AB\) (пусть это будет сторона \(a\)): \[a^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(60^\circ)\] \[a^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}\] \[a^2 = 9 + 25 - 15 = 19\] \[a = \sqrt{19} \text{ см}\] 3. Теперь найдем смежный угол между диагоналями: \(\angle BOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). По теореме косинусов из треугольника \(BOC\) найдем сторону \(BC\) (пусть это будет сторона \(b\)): \[b^2 = BO^2 + OC^2 - 2 \cdot BO \cdot OC \cdot \cos(120^\circ)\] Так как \(\cos(120^\circ) = -1/2\): \[b^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\] \[b^2 = 25 + 9 + 15 = 49\] \[b = \sqrt{49} = 7 \text{ см}\] 4. Вычислим периметр параллелограмма: \[P = 2 \cdot (a + b)\] \[P = 2 \cdot (\sqrt{19} + 7) \text{ см}\] Ответ: \(P = 2(7 + \sqrt{19})\) см.