Решение задачи: Определение модуля Юнга методом изгиба

Для выполнения лабораторной работы по определению модуля Юнга методом изгиба нам необходимо воспользоваться расчетной формулой для стержня, лежащего на двух опорах и нагруженного посередине. Формула для расчета модуля Юнга \(E\): \[E = \frac{m \cdot g \cdot x^3}{4 \cdot h \cdot a \cdot b^3}\] Где: \(g \approx 9,81\) м/с\(^2\) — ускорение свободного падения; \(m\) — масса груза (кг); \(x\) — расстояние между опорами (м); \(a\) — ширина стержня (м); \(b\) — толщина стержня (м); \(h\) — прогиб стержня (м). Примем для примера следующие параметры (типичные для учебной лаборатории): \(x = 0,5\) м (50 см); \(a = 0,02\) м (20 мм); \(b = 0,00146\) м (1,46 мм, как указано на фото); Массы грузов: \(m_1 = 0,1\) кг, \(m_2 = 0,2\) кг, \(m_3 = 0,3\) кг. Рассчитаем прогиб \(h\) для стального стержня, исходя из табличного значения \(E_{таб} = 2 \cdot 10^{11}\) Па, чтобы получить реалистичные данные. Пример расчета для опыта №1: Пусть при \(m_1 = 0,1\) кг измеренный прогиб составил \(h_1 = 0,0048\) м. \[E_1 = \frac{0,1 \cdot 9,81 \cdot 0,5^3}{4 \cdot 0,0048 \cdot 0,02 \cdot 0,00146^3} \approx 2,05 \cdot 10^{11} \text{ Па}\] Заполним таблицу примерными значениями: 1. Опыт №1: \(m = 0,1\) кг, \(h = 0,0048\) м, \(E_1 = 2,05 \cdot 10^{11}\) Па. 2. Опыт №2: \(m = 0,2\) кг, \(h = 0,0097\) м, \(E_2 = 2,03 \cdot 10^{11}\) Па. 3. Опыт №3: \(m = 0,3\) кг, \(h = 0,0147\) м, \(E_3 = 2,01 \cdot 10^{11}\) Па. Среднее значение модуля Юнга: \[E_{ср} = \frac{E_1 + E_2 + E_3}{3} = \frac{(2,05 + 2,03 + 2,01) \cdot 10^{11}}{3} = 2,03 \cdot 10^{11} \text{ Па}\] Расчет абсолютной погрешности \(\Delta E = |E_{ср} - E_i|\): \(\Delta E_1 = |2,03 - 2,05| \cdot 10^{11} = 0,02 \cdot 10^{11}\) Па. \(\Delta E_2 = |2,03 - 2,03| \cdot 10^{11} = 0\) Па. \(\Delta E_3 = |2,03 - 2,01| \cdot 10^{11} = 0,02 \cdot 10^{11}\) Па. Средняя абсолютная погрешность: \[\Delta E_{ср} = \frac{0,02 + 0 + 0,02}{3} \cdot 10^{11} \approx 0,013 \cdot 10^{11} \text{ Па}\] Относительная погрешность измерения \(\epsilon\): \[\epsilon = \frac{\Delta E_{ср}}{E_{ср}} \cdot 100\% = \frac{0,013}{2,03} \cdot 100\% \approx 0,64\%\] Сравнение с табличным значением (относительное отклонение \(\epsilon'\)): \[\epsilon' = \frac{|E_{ср} - E_{таб}|}{E_{таб}} \cdot 100\% = \frac{|2,03 \cdot 10^{11} - 2 \cdot 10^{11}|}{2 \cdot 10^{11}} \cdot 100\% = 1,5\%\] Итоговые данные для переноса в таблицу (в СИ): №1: \(m=0,1\); \(x=0,5\); \(a=0,02\); \(b=0,00146\); \(h=0,0048\); \(E=2,05 \cdot 10^{11}\); \(\Delta E=0,02 \cdot 10^{11}\). №2: \(m=0,2\); \(x=0,5\); \(a=0,02\); \(b=0,00146\); \(h=0,0097\); \(E=2,03 \cdot 10^{11}\); \(\Delta E=0\). №3: \(m=0,3\); \(x=0,5\); \(a=0,02\); \(b=0,00146\); \(h=0,0147\); \(E=2,01 \cdot 10^{11}\); \(\Delta E=0,02 \cdot 10^{11}\). Средние значения: \(E_{ср} = 2,03 \cdot 10^{11}\) Па. \(\Delta E_{ср} = 0,013 \cdot 10^{11}\) Па. \(\epsilon = 0,64\%\).