Решение задачи: Определение фокусного расстояния линзы

Хорошо, давайте разберем эту лабораторную работу по физике. Это задание на определение фокусного расстояния собирающей линзы. Поскольку у меня нет возможности провести реальные измерения, я не могу заполнить таблицы конкретными числовыми значениями. Однако я могу подробно объяснить каждый шаг, привести необходимые формулы и показать, как производить расчеты и заполнять таблицы.

Порядок выполнения работы

1 способ

1. Перемещая линзу между экраном и предметом, добиться чёткого изображения предмета.
2. Измерить \(d\) и \(f\) по линейке на оптической скамье.
3. Измерения повторить 3 раза, меняя расстояния \(d\) и \(f\).
4. Вычислить фокусное расстояние \(F\) по формуле (2). Заполнить таблицу 1. Вычислить погрешности.

Объяснение и формулы для 1 способа:

В этом способе используется формула тонкой линзы: \[ \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f} \] где:

• \(F\) – фокусное расстояние линзы;
• \(d\) – расстояние от предмета до линзы;
• \(f\) – расстояние от линзы до изображения.

Из этой формулы можно выразить фокусное расстояние \(F\): \[ F = \frac{d \cdot f}{d + f} \] Это и есть формула (2), о которой говорится в задании.

Таблица 1

№ п/п	\(d\)	\(f\)	\(F\)	\(F_{ср}\)	\(\Delta F\)	\(\Delta F_{ср}\)	\(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\)
1.
2.
3.

Как заполнять Таблицу 1:

1. \(d\) и \(f\): Эти значения вы измеряете на оптической скамье. Для каждого из трех измерений вы будете получать разные пары \(d\) и \(f\).
2. \(F\): Для каждой пары \(d\) и \(f\) вычисляете фокусное расстояние по формуле \(F = \frac{d \cdot f}{d + f}\).
3. \(F_{ср}\): После того как вы вычислили три значения \(F\), находите их среднее арифметическое: \[ F_{ср} = \frac{F_1 + F_2 + F_3}{3} \]
4. \(\Delta F\): Это абсолютная погрешность для каждого измерения. Она вычисляется как модуль разности между измеренным значением \(F\) и средним значением \(F_{ср}\): \[ \Delta F_i = |F_i - F_{ср}| \]
5. \(\Delta F_{ср}\): Это средняя абсолютная погрешность. Она вычисляется как среднее арифметическое всех \(\Delta F_i\): \[ \Delta F_{ср} = \frac{\Delta F_1 + \Delta F_2 + \Delta F_3}{3} \]
6. \(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\): Это относительная погрешность, выраженная в процентах. Она показывает точность ваших измерений.

2 способ

1. Установить расстояние \(L\) между предметом и экраном не менее 50 см и записать его.
2. Не меняя \(L\), переместить линзу, чтобы получилось четкое уменьшенное изображение и записать \(d_1\).
3. Не меняя \(L\), переместить линзу, чтобы получилось четкое увеличенное изображение и записать \(d\).
4. Вычислить \(l = d_1 - d\) и занести в таблицу 2.
5. Вычислить фокусное расстояние \(F\) по формуле (3).
6. Измерения повторить три раза. Заполнить таблицу 2. Вычислить погрешности.

Объяснение и формулы для 2 способа:

В этом способе используется метод двух положений линзы (метод Бесселя). Расстояние между предметом и экраном \(L\) остается постоянным. Когда линза находится в первом положении, получается уменьшенное изображение. Расстояние от предмета до линзы в этом случае обозначено как \(d_1\). Когда линза находится во втором положении, получается увеличенное изображение. Расстояние от предмета до линзы в этом случае обозначено как \(d\). Расстояние между двумя положениями линзы, при которых на экране получаются четкие изображения, равно \(l = d_1 - d\). Формула для фокусного расстояния в этом случае (формула (3)): \[ F = \frac{L^2 - l^2}{4L} \] где:

• \(L\) – расстояние между предметом и экраном;
• \(l\) – расстояние между двумя положениями линзы.

Таблица 2

№ п/п	\(d_1\)	\(d\)	\(l\)	\(L\)	\(F\)	\(F_{ср}\)	\(\Delta F\)	\(\Delta F_{ср}\)	\(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\)
1.
2.
3.

Как заполнять Таблицу 2:

1. \(d_1\) и \(d\): Эти значения вы измеряете на оптической скамье для каждого из трех измерений.
2. \(l\): Вычисляете по формуле \(l = d_1 - d\).
3. \(L\): Это расстояние вы устанавливаете в начале каждого измерения и оно должно быть одинаковым для всех трех повторений, если вы не меняете его.
4. \(F\): Для каждой строки вычисляете фокусное расстояние по формуле \(F = \frac{L^2 - l^2}{4L}\).
5. \(F_{ср}\): Находите среднее арифметическое трех значений \(F\): \[ F_{ср} = \frac{F_1 + F_2 + F_3}{3} \]
6. \(\Delta F\): Абсолютная погрешность для каждого измерения: \[ \Delta F_i = |F_i - F_{ср}| \]
7. \(\Delta F_{ср}\): Средняя абсолютная погрешность: \[ \Delta F_{ср} = \frac{\Delta F_1 + \Delta F_2 + \Delta F_3}{3} \]
8. \(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\): Относительная погрешность в процентах.

Пример заполнения (гипотетические данные):

Предположим, для первого способа вы получили следующие измерения:

Таблица 1 (пример)

№ п/п	\(d\) (см)	\(f\) (см)	\(F\) (см)	\(F_{ср}\) (см)	\(\Delta F\) (см)	\(\Delta F_{ср}\) (см)	\(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\)
1.	20	20	10	10.17	0.17	0.17	1.67%
2.	25	16.67	10.00		0.17
3.	18	22.5	10.00		0.17

Расчеты для примера Таблицы 1:

• Измерение 1: \(d = 20\) см, \(f = 20\) см. \[ F_1 = \frac{20 \cdot 20}{20 + 20} = \frac{400}{40} = 10 \]
• Измерение 2: \(d = 25\) см, \(f = 16.67\) см. \[ F_2 = \frac{25 \cdot 16.67}{25 + 16.67} = \frac{416.75}{41.67} \approx 10.00 \]
• Измерение 3: \(d = 18\) см, \(f = 22.5\) см. \[ F_3 = \frac{18 \cdot 22.5}{18 + 22.5} = \frac{405}{40.5} = 10.00 \]
• Среднее фокусное расстояние: \[ F_{ср} = \frac{10 + 10 + 10}{3} = 10 \] (В примере выше я немного изменил значения, чтобы показать, как округлять и считать погрешности, если значения не идеально совпадают. Пусть будет \(F_1 = 10.17\), \(F_2 = 10.00\), \(F_3 = 10.00\). Тогда: \[ F_{ср} = \frac{10.17 + 10.00 + 10.00}{3} = \frac{30.17}{3} \approx 10.056 \approx 10.06 \] Давайте пересчитаем с более реалистичными значениями для примера, чтобы показать разброс.) Пусть будет так: \[ F_1 = 10.2 \] \[ F_2 = 9.9 \] \[ F_3 = 10.3 \] \[ F_{ср} = \frac{10.2 + 9.9 + 10.3}{3} = \frac{30.4}{3} \approx 10.13 \] Округлим до сотых: \(F_{ср} \approx 10.13\) см.
• Абсолютные погрешности: \[ \Delta F_1 = |10.2 - 10.13| = 0.07 \] \[ \Delta F_2 = |9.9 - 10.13| = 0.23 \] \[ \Delta F_3 = |10.3 - 10.13| = 0.17 \]
• Средняя абсолютная погрешность: \[ \Delta F_{ср} = \frac{0.07 + 0.23 + 0.17}{3} = \frac{0.47}{3} \approx 0.156 \approx 0.16 \] Округлим до сотых: \(\Delta F_{ср} \approx 0.16\) см.
• Относительная погрешность: \[ \frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\% = \frac{0.16}{10.13} \cdot 100\% \approx 0.01579 \cdot 100\% \approx 1.58\% \]

Таблица 1 (пример с расчетами)

№ п/п	\(d\) (см)	\(f\) (см)	\(F\) (см)	\(F_{ср}\) (см)	\(\Delta F\) (см)	\(\Delta F_{ср}\) (см)	\(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\)
1.	20	20.4	10.2	10.13	0.07	0.16	1.58%
2.	22	17.5	9.9		0.23
3.	19	21.5	10.3		0.17

Пример заполнения для 2 способа (гипотетические данные):

Предположим, для второго способа вы получили следующие измерения, при \(L = 60\) см:

Таблица 2 (пример)

№ п/п	\(d_1\) (см)	\(d\) (см)	\(l\) (см)	\(L\) (см)	\(F\) (см)	\(F_{ср}\) (см)	\(\Delta F\) (см)	\(\Delta F_{ср}\) (см)	\(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\)
1.	40	20	20	60	13.33	13.33	0	0.03	0.23%
2.	41	21	20	60	13.33		0
3.	40.5	20.3	20.2	60	13.27		0.06

Расчеты для примера Таблицы 2:

• Измерение 1: \(d_1 = 40\) см, \(d = 20\) см, \(L = 60\) см. \[ l_1 = d_1 - d = 40 - 20 = 20 \] \[ F_1 = \frac{L^2 - l_1^2}{4L} = \frac{60^2 - 20^2}{4 \cdot 60} = \frac{3600 - 400}{240} = \frac{3200}{240} \approx 13.33 \]
• Измерение 2: \(d_1 = 41\) см, \(d = 21\) см, \(L = 60\) см. \[ l_2 = d_1 - d = 41 - 21 = 20 \] \[ F_2 = \frac{L^2 - l_2^2}{4L} = \frac{60^2 - 20^2}{4 \cdot 60} = \frac{3200}{240} \approx 13.33 \]
• Измерение 3: \(d_1 = 40.5\) см, \(d = 20.3\) см, \(L = 60\) см. \[ l_3 = d_1 - d = 40.5 - 20.3 = 20.2 \] \[ F_3 = \frac{L^2 - l_3^2}{4L} = \frac{60^2 - 20.2^2}{4 \cdot 60} = \frac{3600 - 408.04}{240} = \frac{3191.96}{240} \approx 13.299 \approx 13.30 \]
• Среднее фокусное расстояние: \[ F_{ср} = \frac{13.33 + 13.33 + 13.30}{3} = \frac{39.96}{3} \approx 13.32 \] Округлим до сотых: \(F_{ср} \approx 13.32\) см.
• Абсолютные погрешности: \[ \Delta F_1 = |13.33 - 13.32| = 0.01 \] \[ \Delta F_2 = |13.33 - 13.32| = 0.01 \] \[ \Delta F_3 = |13.30 - 13.32| = 0.02 \]
• Средняя абсолютная погрешность: \[ \Delta F_{ср} = \frac{0.01 + 0.01 + 0.02}{3} = \frac{0.04}{3} \approx 0.013 \approx 0.01 \] Округлим до сотых: \(\Delta F_{ср} \approx 0.01\) см.
• Относительная погрешность: \[ \frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\% = \frac{0.01}{13.32} \cdot 100\% \approx 0.00075 \cdot 100\% \approx 0.075\% \]

Таблица 2 (пример с расчетами)

№ п/п	\(d_1\) (см)	\(d\) (см)	\(l\) (см)	\(L\) (см)	\(F\) (см)	\(F_{ср}\) (см)	\(\Delta F\) (см)	\(\Delta F_{ср}\) (см)	\(\frac{\Delta F_{ср}}{F_{ср}} \cdot 100\%\)
1.	40	20	20	60	13.33	13.32	0.01	0.01	0.075%
2.	41	21	20	60	13.33		0.01
3.	40.5	20.3	20.2	60	13.30		0.02

Надеюсь, это подробное объяснение поможет вам правильно провести лабораторную работу и заполнить таблицы!