Построение графика функции y = (1/16)^x

Хорошо, я вижу задачи на построение графиков показательных функций и на сравнение чисел. Давайте решим их по порядку. ***

Задание 1: Построить графики функций

1) Построить график функции \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^x\)

Это показательная функция вида \(y = a^x\), где \(a = \frac{1}{16}\). Так как \(0 < a < 1\), функция является убывающей. **Свойства функции:** * Область определения: \(x \in (-\infty; +\infty)\). * Область значений: \(y \in (0; +\infty)\). * График проходит через точку \((0; 1)\), так как \(\left(\frac{1}{16}\right)^0 = 1\). * Ось \(Ox\) является горизонтальной асимптотой (график приближается к ней, но не пересекает). **Найдем несколько точек для построения:** * При \(x = 0\): \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^0 = 1\). Точка \((0; 1)\). * При \(x = 1\): \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^1 = \frac{1}{16}\). Точка \(\left(1; \frac{1}{16}\right)\). * При \(x = -1\): \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^{-1} = 16\). Точка \((-1; 16)\). * При \(x = 2\): \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^2 = \frac{1}{256}\). Точка \(\left(2; \frac{1}{256}\right)\). * При \(x = -2\): \(y = \left(\frac{1}{16}\right)^{-2} = 16^2 = 256\). Точка \((-2; 256)\). **Построение:** Начертите координатные оси. Отметьте найденные точки. Соедините их плавной кривой, помня, что функция убывает, проходит через \((0; 1)\) и приближается к оси \(Ox\) при \(x \to +\infty\).

***

2) Построить график функции \(y = 4^x\)

Это показательная функция вида \(y = a^x\), где \(a = 4\). Так как \(a > 1\), функция является возрастающей. **Свойства функции:** * Область определения: \(x \in (-\infty; +\infty)\). * Область значений: \(y \in (0; +\infty)\). * График проходит через точку \((0; 1)\), так как \(4^0 = 1\). * Ось \(Ox\) является горизонтальной асимптотой. **Найдем несколько точек для построения:** * При \(x = 0\): \(y = 4^0 = 1\). Точка \((0; 1)\). * При \(x = 1\): \(y = 4^1 = 4\). Точка \((1; 4)\). * При \(x = -1\): \(y = 4^{-1} = \frac{1}{4}\). Точка \(\left(-1; \frac{1}{4}\right)\). * При \(x = 2\): \(y = 4^2 = 16\). Точка \((2; 16)\). * При \(x = -2\): \(y = 4^{-2} = \frac{1}{16}\). Точка \(\left(-2; \frac{1}{16}\right)\). **Построение:** Начертите координатные оси. Отметьте найденные точки. Соедините их плавной кривой, помня, что функция возрастает, проходит через \((0; 1)\) и приближается к оси \(Ox\) при \(x \to -\infty\).

***

3) Построить график функции \(y = (\sqrt{3})^x\)

Это показательная функция вида \(y = a^x\), где \(a = \sqrt{3}\). Так как \(\sqrt{3} \approx 1.732\), то \(a > 1\), и функция является возрастающей. **Свойства функции:** * Область определения: \(x \in (-\infty; +\infty)\). * Область значений: \(y \in (0; +\infty)\). * График проходит через точку \((0; 1)\), так как \((\sqrt{3})^0 = 1\). * Ось \(Ox\) является горизонтальной асимптотой. **Найдем несколько точек для построения:** * При \(x = 0\): \(y = (\sqrt{3})^0 = 1\). Точка \((0; 1)\). * При \(x = 1\): \(y = (\sqrt{3})^1 = \sqrt{3} \approx 1.73\). Точка \((1; \sqrt{3})\). * При \(x = -1\): \(y = (\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58\). Точка \(\left(-1; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\). * При \(x = 2\): \(y = (\sqrt{3})^2 = 3\). Точка \((2; 3)\). * При \(x = -2\): \(y = (\sqrt{3})^{-2} = \frac{1}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{3}\). Точка \(\left(-2; \frac{1}{3}\right)\). **Построение:** Начертите координатные оси. Отметьте найденные точки. Соедините их плавной кривой, помня, что функция возрастает, проходит через \((0; 1)\) и приближается к оси \(Ox\) при \(x \to -\infty\).

***

Задание 2: Сравнить числа

Для сравнения чисел, представленных в виде степени, используем свойство показательной функции: * Если основание \(a > 1\), то функция \(y = a^x\) возрастает. Это значит, что чем больше показатель степени, тем больше значение функции. * Если основание \(0 < a < 1\), то функция \(y = a^x\) убывает. Это значит, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции.

1) Сравнить \(\left(\frac{1}{4}\right)^{0,3}\) и \(\left(\frac{1}{4}\right)^{1,5}\)

Здесь основание степени \(a = \frac{1}{4}\). Так как \(0 < \frac{1}{4} < 1\), функция \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^x\) является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Сравним показатели степени: \(0,3\) и \(1,5\). Мы видим, что \(0,3 < 1,5\). Поскольку функция убывающая, то для меньшего показателя степени значение функции будет больше. Значит, \(\left(\frac{1}{4}\right)^{0,3} > \left(\frac{1}{4}\right)^{1,5}\). **Ответ:** \(\left(\frac{1}{4}\right)^{0,3} > \left(\frac{1}{4}\right)^{1,5}\) ***

2) Сравнить \(4^{-3,2}\) и \(4^{-0,8}\)

Здесь основание степени \(a = 4\). Так как \(a = 4 > 1\), функция \(y = 4^x\) является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем больше значение функции. Сравним показатели степени: \(-3,2\) и \(-0,8\). Мы видим, что \(-3,2 < -0,8\). Поскольку функция возрастающая, то для меньшего показателя степени значение функции будет меньше. Значит, \(4^{-3,2} < 4^{-0,8}\). **Ответ:** \(4^{-3,2} < 4^{-0,8}\)