Решение задачи: Подобные треугольники

Контрольная работа "Подобные треугольники" Вариант 1 Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \) со сторонами \( AB = 2,5 \), \( BC = 4 \), \( AC = 5 \). \( \triangle DEF \) со сторонами \( DE = 20 \), \( EF = 10 \), \( DF = 16 \). Доказать: \( \triangle ABC \sim \triangle EFD \). Выяснить расположение \( BC \) и \( DF \). Доказательство: 1) Проверим пропорциональность сторон треугольников, составив отношения от больших сторон к меньшим: \[ \frac{AC}{DE} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{BC}{DF} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \] \[ \frac{AB}{EF} = \frac{2,5}{10} = \frac{1}{4} \] Так как отношения сторон равны \( \frac{AC}{DE} = \frac{BC}{DF} = \frac{AB}{EF} = \frac{1}{4} \), то треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трем пропорциональным сторонам). 2) Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов. Углы, лежащие против пропорциональных сторон, равны: \( \angle ACB = \angle EDF \). 3) Так как точки \( A, C, D, E \) лежат на одной прямой, углы \( \angle ACB \) и \( \angle EDF \) являются накрест лежащими при прямых \( BC \) и \( DF \) и секущей \( AE \). Так как накрест лежащие углы равны, то прямые \( BC \) и \( DF \) параллельны: \( BC \parallel DF \). Задача 2. Дано: \( \triangle BEC \sim \triangle ABC \), \( AE = 16 \) см, \( CE = 9 \) см. Найти: \( BC \). Решение: 1) Из рисунка видно, что сторона \( AC = AE + CE = 16 + 9 = 25 \) см. 2) Так как \( \triangle BEC \sim \triangle ABC \), то их соответствующие стороны пропорциональны. В данных треугольниках угол \( C \) — общий. Пропорция сторон, прилежащих к этому углу: \[ \frac{BC}{AC} = \frac{CE}{BC} \] 3) Отсюда выразим \( BC^2 \): \[ BC^2 = AC \cdot CE \] \[ BC^2 = 25 \cdot 9 = 225 \] \[ BC = \sqrt{225} = 15 \text{ см} \] Ответ: 15 см. Задача 3. Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AB = BC \)). Основание \( AC \) меньше боковой стороны на 9,6 см. Биссектриса угла при основании делит боковую сторону в отношении 3:5. Найти: \( P_{ABC} \). Решение: 1) Пусть \( AB = BC = x \), тогда \( AC = x - 9,6 \). 2) По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Пусть биссектриса проведена из угла \( A \) к стороне \( BC \). Тогда: \[ \frac{AC}{AB} = \frac{3}{5} \] 3) Подставим значения: \[ \frac{x - 9,6}{x} = \frac{3}{5} \] \[ 5(x - 9,6) = 3x \] \[ 5x - 48 = 3x \] \[ 2x = 48 \] \[ x = 24 \text{ см (боковая сторона)} \] 4) Найдем основание: \( AC = 24 - 9,6 = 14,4 \) см. 5) Периметр: \( P = 24 + 24 + 14,4 = 62,4 \) см. Ответ: 62,4 см. Задача 4. Дано: Четырехугольник \( ABCD \), \( O \) — точка пересечения диагоналей. \( OC = 5 \) см, \( OB = 6 \) см, \( OA = 15 \) см, \( OD = 18 \) см. Доказать: \( ABCD \) — трапеция. Доказательство: 1) Рассмотрим \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \). У них \( \angle BOC = \angle DOA \) как вертикальные. 2) Проверим пропорциональность сторон, образующих эти углы: \[ \frac{OC}{OA} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \] \[ \frac{OB}{OD} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \] Так как две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то \( \triangle BOC \sim \triangle DOA \) по второму признаку подобия. 3) Из подобия следует равенство углов: \( \angle OBC = \angle ODA \). 4) Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( BC \) и \( AD \) и секущей \( BD \). Так как накрест лежащие углы равны, то \( BC \parallel AD \). 5) Так как две стороны четырехугольника параллельны, а две другие (по условию разные) нет, то \( ABCD \) — трапеция. Что и требовалось доказать.