Решение Производной y' без dx и dy: x^2 y + 3x^3 - y^2 = e^(x/2)

Хорошо, давайте найдем первую производную \(y'\) для данного уравнения, используя только простую таблицу производных. Уравнение: \[x^2 y + 3x^3 - y^2 = e^{\frac{x}{2}}\] Мы будем дифференцировать обе части уравнения по \(x\). При этом помним, что \(y\) является функцией от \(x\), поэтому при дифференцировании \(y\) мы будем использовать правило цепной производной, умножая на \(y'\). 1. Дифференцируем \(x^2 y\): Это произведение двух функций \(u = x^2\) и \(v = y\). Производная произведения \((uv)' = u'v + uv'\). \(u' = (x^2)' = 2x\) \(v' = (y)' = y'\) Значит, \((x^2 y)' = 2x \cdot y + x^2 \cdot y' = 2xy + x^2 y'\). 2. Дифференцируем \(3x^3\): \((3x^3)' = 3 \cdot (x^3)' = 3 \cdot 3x^2 = 9x^2\). 3. Дифференцируем \(-y^2\): Это сложная функция. Внешняя функция \(f(u) = -u^2\), внутренняя функция \(u = y\). \((f(u))' = f'(u) \cdot u'\). \(f'(u) = (-u^2)' = -2u\). \(u' = y'\). Значит, \((-y^2)' = -2y \cdot y' = -2yy'\). 4. Дифференцируем \(e^{\frac{x}{2}}\): Это сложная функция. Внешняя функция \(f(u) = e^u\), внутренняя функция \(u = \frac{x}{2}\). \((f(u))' = f'(u) \cdot u'\). \(f'(u) = (e^u)' = e^u\). \(u' = (\frac{x}{2})' = (\frac{1}{2}x)' = \frac{1}{2}\). Значит, \((e^{\frac{x}{2}})' = e^{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\). Теперь подставим все полученные производные обратно в уравнение: \[2xy + x^2 y' + 9x^2 - 2yy' = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}\] Наша цель — выразить \(y'\). Для этого сгруппируем все члены, содержащие \(y'\), с одной стороны, а остальные члены — с другой. Перенесем члены без \(y'\) в правую часть: \[x^2 y' - 2yy' = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} - 2xy - 9x^2\] Вынесем \(y'\) за скобки в левой части: \[y'(x^2 - 2y) = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} - 2xy - 9x^2\] И, наконец, разделим обе части на \((x^2 - 2y)\), чтобы найти \(y'\): \[y' = \frac{\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}} - 2xy - 9x^2}{x^2 - 2y}\] Это и есть первая производная \(y'\).