Решение неравенства √(-x² + 6x - 5) > 8 - 2x (Задача №6)

Для оформления задачи №6 в тетради с графической интерпретацией (чертежом), запишите следующее: Задание 6. Решите неравенство: \[ \sqrt{-x^2 + 6x - 5} > 8 - 2x \] Решение: 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \[ -x^2 + 6x - 5 \ge 0 \] Корни уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 5 \). График — парабола ветвями вниз, значит \( x \in [1; 5] \). 2. Рассмотрим два случая: а) Если правая часть отрицательна: \[ 8 - 2x < 0 \Rightarrow x > 4 \] При \( x > 4 \) корень (который всегда неотрицателен) всегда больше отрицательного числа. С учетом ОДЗ: \( x \in (4; 5] \). б) Если правая часть неотрицательна: \[ 8 - 2x \ge 0 \Rightarrow x \le 4 \] Возводим обе части в квадрат: \[ -x^2 + 6x - 5 > (8 - 2x)^2 \] \[ -x^2 + 6x - 5 > 64 - 32x + 4x^2 \] \[ 5x^2 - 38x + 69 < 0 \] Находим корни уравнения \( 5x^2 - 38x + 69 = 0 \): \[ D = (-38)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 69 = 1444 - 1380 = 64 \] \[ x_1 = \frac{38 - 8}{10} = 3; \quad x_2 = \frac{38 + 8}{10} = 4,6 \] Решение неравенства: \( 3 < x < 4,6 \). С учетом условия \( x \le 4 \) и ОДЗ, получаем: \( x \in (3; 4] \). 3. Объединяем результаты: \[ (3; 4] \cup (4; 5] = (3; 5] \] Чертеж (схематичное изображение для тетради): Для построения чертежа нарисуйте координатную прямую \( x \): 1. Отметьте на ней ОДЗ: заштрихуйте отрезок от 1 до 5. 2. Отметьте решение первого случая: выделите интервал от 4 (выколотая точка) до 5 (закрашенная). 3. Отметьте решение второго случая: выделите интервал от 3 (выколотая точка) до 4 (закрашенная). 4. Итоговый заштрихованный участок будет от 3 до 5. Визуализация на прямой: ---(1)===○(3)=======●(4)=======●(5)--- (где === это область решения неравенства, а (1) и (5) — границы ОДЗ). Ответ: \( (3; 5] \).