Решение задачи №6 с чертежом - Вариант 1

Вариант 1 Задание 1. Найдите значение выражения: 1) \( 3\sqrt[3]{8} + 4\sqrt[5]{-32} + \sqrt[4]{(-5)^4} \) Решение: \( 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) + |-5| = 6 - 8 + 5 = 3 \) Ответ: 3. 2) \( \sqrt[3]{27 \cdot 0,008} \) Решение: \( \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{0,008} = 3 \cdot 0,2 = 0,6 \) Ответ: 0,6. 3) \( \sqrt[3]{\sqrt{37} + 8} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{37} - 8} \) Решение: \( \sqrt[3]{(\sqrt{37} + 8)(\sqrt{37} - 8)} = \sqrt[3]{37 - 64} = \sqrt[3]{-27} = -3 \) Ответ: -3. Задание 2. Упростить выражение: 1) \( \sqrt[18]{a^3} = \sqrt[6]{a} \) 2) \( \sqrt[7]{c \sqrt[5]{c^2}} = \sqrt[7]{\sqrt[5]{c^5 \cdot c^2}} = \sqrt[35]{c^7} = \sqrt[5]{c} \) 3) \( \sqrt[4]{y^4} \), при \( y \le 0 \): \( \sqrt[4]{y^4} = |y| \). Так как \( y \le 0 \), то \( |y| = -y \). Ответ: \( -y \). Задание 3. Решите уравнение: 1) \( \sqrt{2x + 8} = x \) Условие: \( x \ge 0 \). \( 2x + 8 = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 4 \), \( x_2 = -2 \) (не подходит, так как \( x \ge 0 \)). Ответ: 4. 2) \( \sqrt{x + 2} = \sqrt{3 - x} \) ОДЗ: \( x \ge -2 \) и \( x \le 3 \). \( x + 2 = 3 - x \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0,5 \) (входит в ОДЗ). Ответ: 0,5. 3) \( \sqrt{-72 - 17x} = -x \) Условие: \( -x \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \). \( -72 - 17x = x^2 \Rightarrow x^2 + 17x + 72 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = -8 \), \( x_2 = -9 \). Оба корня подходят. В ответе укажите больший корень. Ответ: -8. Задание 4. Решите неравенство: 1) \( \sqrt{x + 8} > x + 2 \) Случай 1: \( x + 2 < 0 \Rightarrow x < -2 \). С учетом ОДЗ (\( x \ge -8 \)): \( x \in [-8; -2) \). Случай 2: \( x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2 \). \( x + 8 > x^2 + 4x + 4 \Rightarrow x^2 + 3x - 4 < 0 \) Корни: \( x_1 = -4, x_2 = 1 \). Решение: \( (-4; 1) \). С учетом \( x \ge -2 \): \( x \in [-2; 1) \). Объединяем: \( [-8; -2) \cup [-2; 1) = [-8; 1) \). Ответ: \( [-8; 1) \). 2) \( \sqrt{3 + 2x} \ge \sqrt{x + 1} \) Система: \( 3 + 2x \ge x + 1 \) и \( x + 1 \ge 0 \). \( x \ge -2 \) и \( x \ge -1 \). Ответ: \( [-1; +\infty) \). Задание 5. Решите уравнение: \( \sqrt{3x - 1} + \sqrt{6x + 2} = \sqrt{9x + 1} \) Возводим в квадрат: \( 3x - 1 + 6x + 2 + 2\sqrt{(3x - 1)(6x + 2)} = 9x + 1 \) \( 9x + 1 + 2\sqrt{(3x - 1)(6x + 2)} = 9x + 1 \) \( 2\sqrt{(3x - 1)(6x + 2)} = 0 \Rightarrow x_1 = 1/3, x_2 = -1/3 \). Проверка по ОДЗ (\( x \ge 1/3 \)): подходит только \( 1/3 \). Ответ: \( 1/3 \). Задание 6. Решите неравенство: \( \sqrt{24 - 10x + x^2} > x - 4 \) Случай 1: \( x - 4 < 0 \Rightarrow x < 4 \). ОДЗ: \( x^2 - 10x + 24 \ge 0 \Rightarrow (x-4)(x-6) \ge 0 \Rightarrow x \in (-\infty; 4] \cup [6; +\infty) \). С учетом \( x < 4 \): \( x \in (-\infty; 4) \). Случай 2: \( x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4 \). \( x^2 - 10x + 24 > x^2 - 8x + 16 \Rightarrow -2x > -8 \Rightarrow x < 4 \). Нет решений для этого случая. Объединяем: \( x \in (-\infty; 4) \). Ответ: \( (-\infty; 4) \).