Решение задачи №6: √x² - 10x + 24 > x - 4 (с чертежом)

Для оформления задания №6 в тетради запишите следующее решение с графическим пояснением. Задание 6. Решите неравенство: \[ \sqrt{x^2 - 10x + 24} > x - 4 \] Решение: 1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ): \[ x^2 - 10x + 24 \ge 0 \] Корни уравнения \( x^2 - 10x + 24 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = 4, x_2 = 6 \). Ветви параболы направлены вверх, значит ОДЗ: \( x \in (-\infty; 4] \cup [6; +\infty) \). 2. Рассмотрим два случая: а) Если правая часть отрицательна: \[ x - 4 < 0 \Rightarrow x < 4 \] В этом случае корень (который всегда неотрицателен) всегда больше отрицательного числа. С учетом ОДЗ: \( x \in (-\infty; 4) \). б) Если правая часть неотрицательна: \[ x - 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4 \] Возводим обе части в квадрат: \[ x^2 - 10x + 24 > (x - 4)^2 \] \[ x^2 - 10x + 24 > x^2 - 8x + 16 \] \[ -10x + 8x > 16 - 24 \] \[ -2x > -8 \] \[ x < 4 \] Этот результат противоречит условию \( x \ge 4 \), значит в этом случае решений нет. 3. Объединяем результаты: Единственным решением остается интервал из первого случая. Чертеж (для тетради): Нарисуйте координатную прямую \( x \). 1. Отметьте ОДЗ: заштрихуйте области левее 4 и правее 6. Точки 4 и 6 закрашенные. 2. Отметьте решение первого случая: интервал левее 4 (точка 4 становится выколотой, так как при \( x=4 \) получаем \( 0 > 0 \), что неверно). 3. Покажите, что правее 4 решений нет. Визуализация на прямой: \[ \text{=======} \circ(4) \text{---} \bullet[6] \text{=======} \] (где ======= это ОДЗ, а решение — только левая часть до точки 4). Ответ: \( (-\infty; 4) \).