Решение задачи: числа Фибоначчи, кратные 3

Для решения этой задачи необходимо исследовать остатки от деления чисел Фибоначчи на 3 и найти закономерность. Выпишем остатки первых элементов последовательности \(F_n\) при делении на 3: \(F_1 = 1\) (остаток 1) \(F_2 = 1\) (остаток 1) \(F_3 = 1 + 1 = 2\) (остаток 2) \(F_4 = 1 + 2 = 3\) (остаток 0) — кратно 3 \(F_5 = 2 + 3 = 5\) (остаток 2) \(F_6 = 3 + 5 = 8\) (остаток 2) \(F_7 = 5 + 8 = 13\) (остаток 1) \(F_8 = 8 + 13 = 21\) (остаток 0) — кратно 3 \(F_9 = 13 + 21 = 34\) (остаток 1) \(F_{10} = 21 + 34 = 55\) (остаток 1) Заметим, что последовательность остатков выглядит так: 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, ... Мы видим, что последовательность остатков начала повторяться (появились две единицы подряд, как в начале). Период повторения остатков при делении на 3 (период Пизано) равен 8. Внутри одного периода (8 чисел) остаток 0 встречается на 4-й и 8-й позициях. То есть каждое 4-е число Фибоначчи кратно 3. \[n = 4k, \text{ где } k = 1, 2, 3, ...\] Чтобы найти количество таких чисел среди первых 203 элементов, нужно разделить 203 на период кратности (на 4) и взять целую часть: \[N = \lfloor \frac{203}{4} \rfloor\] Выполним деление: \[203 = 4 \times 50 + 3\] Это означает, что в последовательности содержится 50 полных циклов по 4 числа, в каждом из которых ровно одно число кратно 3 (это числа \(F_4, F_8, ..., F_{200}\)). Последние три числа (\(F_{201}, F_{202}, F_{203}\)) согласно нашей последовательности остатков будут иметь остатки 1, 1, 2, то есть среди них нет кратных 3. Следовательно, всего чисел, кратных трем: \[N = 50\] Ответ: 50.