Решение задачи: Последовательность Фибоначчи и задача с карточками

Пусть на \(i\)-й карточке на лицевой стороне написано число \(a_i\), а на оборотной — \(b_i\). Обозначим разность между числом на лицевой и оборотной стороне как \(x_i = a_i - b_i\). По условию задачи изначально сумма чисел на лицевых сторонах больше суммы на оборотных, то есть: \[ \sum_{i=1}^{n} a_i > \sum_{i=1}^{n} b_i \implies \sum_{i=1}^{n} (a_i - b_i) > 0 \implies \sum_{i=1}^{n} x_i > 0 \] Если мы переворачиваем \(k = 14\) карточек с индексами из некоторого набора \(I\) (где \(|I| = 14\)), то новая сумма на лицевых сторонах будет: \[ S_{new} = \sum_{i \notin I} a_i + \sum_{i \in I} b_i \] А новая сумма на оборотных: \[ S'_{new} = \sum_{i \notin I} b_i + \sum_{i \in I} a_i \] Условие \(S_{new} > S'_{new}\) равносильно: \[ \sum_{i \notin I} (a_i - b_i) + \sum_{i \in I} (b_i - a_i) > 0 \implies \sum_{i \notin I} x_i - \sum_{i \in I} x_i > 0 \] Так как общая сумма \(S = \sum_{i=1}^{n} x_i\), то \(\sum_{i \notin I} x_i = S - \sum_{i \in I} x_i\). Подставим это в неравенство: \[ S - \sum_{i \in I} x_i - \sum_{i \in I} x_i > 0 \implies S > 2 \sum_{i \in I} x_i \] Это условие должно выполняться для любого набора из 14 карточек. Чтобы оно выполнялось всегда, оно должно выполняться для набора с максимальной суммой \(x_i\). Пусть \(x_1 \ge x_2 \ge \dots \ge x_n\). Тогда условие задачи эквивалентно: \[ \sum_{i=1}^{n} x_i > 2 \sum_{i=1}^{14} x_i \] Разделим сумму в левой части на две группы: \[ \sum_{i=1}^{14} x_i + \sum_{i=15}^{n} x_i > 2 \sum_{i=1}^{14} x_i \implies \sum_{i=15}^{n} x_i > \sum_{i=1}^{14} x_i \] Чтобы минимизировать \(n\), нам нужно сделать значения \(x_i\) максимально "близкими" друг к другу, но при этом \(x_1\) должно быть самым большим. Однако, так как числа на карточках положительные, \(x_i\) могут быть и отрицательными. Но если мы сделаем все \(x_i\) одинаковыми и положительными (например, \(x_i = 1\)), то: \[ n - 14 > 14 \implies n > 28 \] То есть при \(n = 29\) и равных \(x_i\) условие выполняется. Проверим, может ли \(n\) быть меньше. Если мы будем уменьшать \(x_i\) для \(i > 14\), нам придется увеличивать их количество. Если мы сделаем \(x_1, \dots, x_{14}\) очень большими, а остальные маленькими, неравенство не выполнится. Наоборот, чтобы \(n\) было минимальным, нужно, чтобы \(x_1, \dots, x_{14}\) были как можно меньше по сравнению с остальными. Минимальное значение для \(x_1, \dots, x_{14}\) при условии их максимальности достигается, когда \(x_1 = x_2 = \dots = x_n = C > 0\). Тогда \(n - 14 > 14\), что дает \(n \ge 29\). Если же допустить, что некоторые \(x_i\) могут быть отрицательными, это только увеличит необходимое количество карточек, так как сумма \(\sum_{i=15}^{n} x_i\) должна перевесить положительную сумму первых 14 карточек. Таким образом, минимальное \(n\), при котором для любого выбора 14 карточек условие сохраняется, равно 29. Ответ: 29.