Решение задачи: Построение эпюры продольных сил N

Задача по сопротивлению материалов: Расчет ступенчатого стержня на растяжение-сжатие. Дано: Схема №7. \( n = 2,5 \) \( P = 9 \, \text{кН} = 9 \cdot 10^3 \, \text{Н} \) \( a = 0,6 \, \text{м} \) \( [\sigma] = 140 \, \text{МПа} = 140 \cdot 10^6 \, \text{Па} \) \( [\varepsilon] = 6 \cdot 10^{-4} \) \( E = 1,2 \cdot 10^5 \, \text{МПа} = 1,2 \cdot 10^{11} \, \text{Па} \) Расчет силы \( F \): \[ F = n \cdot P = 2,5 \cdot 9 = 22,5 \, \text{кН} \] 1. Построение эпюры продольных сил \( N \). Разобьем стержень на два участка, начиная от свободного (верхнего) конца. Участок 1 (верхний, длина \( a \)): Отсекаем нижнюю часть. На верхний торец действует сила \( 3F \) вниз (сжатие). \[ N_1 = -3F = -3 \cdot 22,5 = -67,5 \, \text{кН} \] Участок 2 (нижний, длина \( a \)): Учитываем верхнюю силу \( 3F \) и две силы \( F \), направленные вверх. \[ N_2 = -3F + F + F = -3F + 2F = -F = -22,5 \, \text{кН} \] 2. Определение площади поперечного сечения \( A \). Условие прочности по нормальным напряжениям: \[ \sigma = \frac{|N|_{max}}{A_{netto}} \le [\sigma] \] Максимальная сила действует на 1-м участке (\( N_1 \)), где площадь \( 2A \). На 2-м участке сила \( N_2 \), площадь \( 1,5A \). Проверим напряжения на обоих участках: \[ \sigma_1 = \frac{3F}{2A}, \quad \sigma_2 = \frac{F}{1,5A} \] Так как \( \frac{3}{2} = 1,5 \) и \( \frac{1}{1,5} \approx 0,67 \), опасным является 1-й участок. \[ \frac{1,5F}{A} \le [\sigma] \implies A \ge \frac{1,5F}{[\sigma]} \] \[ A \ge \frac{1,5 \cdot 22,5 \cdot 10^3}{140 \cdot 10^6} \approx 2,41 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 2,41 \, \text{см}^2 \] Условие жесткости по относительной деформации: \[ \varepsilon = \frac{\sigma}{E} \le [\varepsilon] \implies \frac{N}{A \cdot E} \le [\varepsilon] \] Для 1-го участка: \[ \frac{3F}{2A \cdot E} \le [\varepsilon] \implies A \ge \frac{1,5F}{E \cdot [\varepsilon]} \] \[ A \ge \frac{1,5 \cdot 22,5 \cdot 10^3}{1,2 \cdot 10^{11} \cdot 6 \cdot 10^{-4}} \approx 4,69 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 4,69 \, \text{см}^2 \] Принимаем большее значение из двух условий: \( A = 4,69 \, \text{см}^2 \). 3. Построение эпюры напряжений \( \sigma \). \[ \sigma_1 = -\frac{3F}{2A} = -\frac{3 \cdot 22,5 \cdot 10^3}{2 \cdot 4,69 \cdot 10^{-4}} \approx -72 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -72 \, \text{МПа} \] \[ \sigma_2 = -\frac{F}{1,5A} = -\frac{22,5 \cdot 10^3}{1,5 \cdot 4,69 \cdot 10^{-4}} \approx -32 \cdot 10^6 \, \text{Па} = -32 \, \text{МПа} \] 4. Перемещение свободного конца стержня \( \Delta l \). Перемещение равно сумме деформаций участков (считаем от заделки вверх): \[ \Delta l_2 = \frac{N_2 \cdot a}{1,5A \cdot E} = \frac{-22,5 \cdot 10^3 \cdot 0,6}{1,5 \cdot 4,69 \cdot 10^{-4} \cdot 1,2 \cdot 10^{11}} \approx -0,16 \cdot 10^{-3} \, \text{м} = -0,16 \, \text{мм} \] \[ \Delta l_1 = \frac{N_1 \cdot a}{2A \cdot E} = \frac{-67,5 \cdot 10^3 \cdot 0,6}{2 \cdot 4,69 \cdot 10^{-4} \cdot 1,2 \cdot 10^{11}} \approx -0,36 \cdot 10^{-3} \, \text{м} = -0,36 \, \text{мм} \] Полное перемещение свободного конца: \[ \Delta L = \Delta l_1 + \Delta l_2 = -0,16 - 0,36 = -0,52 \, \text{мм} \] Знак минус означает, что стержень укоротился. Для оформления в тетради: 1. Начертите стержень. 2. Под ним проведите вертикальные линии для эпюр. 3. Эпюра N: на верхнем участке прямоугольник со значением -67,5 кН, на нижнем -22,5 кН. 4. Эпюра \(\sigma\): на верхнем -72 МПа, на нижнем -32 МПа. 5. Эпюра \(\Delta l\): от нуля в заделке линейно растет до -0,16 мм на границе участков и до -0,52 мм на свободном конце.