Решение: Построение эпюры крутящих моментов для ступенчатого вала

Задача: Расчет на прочность и жесткость при кручении ступенчатого вала. Дано: \(n_1 = 4\); \(n_2 = 2\); \(n_3 = 3\); \(M = 100 \, Н \cdot м\); \(l = 0,2 \, м\). \([\tau] = 70 \, МПа\); \([\theta] = 0,5 \, ^\circ/м\); \(G = 8 \cdot 10^4 \, МПа\). 1. Определение внешних моментов: \[M_1 = n_1 \cdot M = 4 \cdot 100 = 400 \, Н \cdot м\] \[M_2 = n_2 \cdot M = 2 \cdot 100 = 200 \, Н \cdot м\] \[M_3 = n_3 \cdot M = 3 \cdot 100 = 300 \, Н \cdot м\] 2. Построение эпюры крутящих моментов \(T\). Используем метод сечений, двигаясь от свободного правого конца к заделке: Участок 3 (правый, длина \(l\), диаметр \(2D\)): \[T_3 = M_3 = 300 \, Н \cdot м\] Участок 2 (средний, длина \(l\), диаметр \(D\)): \[T_2 = M_3 - M_2 = 300 - 200 = 100 \, Н \cdot м\] Участок 1 (левый, у заделки, длина \(l\), диаметр \(2D\)): \[T_1 = M_3 - M_2 + M_1 = 300 - 200 + 400 = 500 \, Н \cdot м\] 3. Расчет диаметра \(D\) из условия прочности. Условие прочности: \(\tau_{max} = \frac{T}{W_p} \le [\tau]\), где \(W_p = 0,2 \cdot d^3\). Проверим каждый участок: Для участка 1: \(\tau_1 = \frac{T_1}{0,2 \cdot (2D)^3} = \frac{500}{1,6 \cdot D^3}\) Для участка 2: \(\tau_2 = \frac{T_2}{0,2 \cdot D^3} = \frac{100}{0,2 \cdot D^3} = \frac{500}{D^3}\) Для участка 3: \(\tau_3 = \frac{T_3}{0,2 \cdot (2D)^3} = \frac{300}{1,6 \cdot D^3} = \frac{187,5}{D^3}\) Наиболее нагруженным по напряжению является участок 2. \[D \ge \sqrt[3]{\frac{T_2}{0,2 \cdot [\tau]}} = \sqrt[3]{\frac{100}{0,2 \cdot 70 \cdot 10^6}} \approx 0,0192 \, м = 19,2 \, мм\] 4. Расчет диаметра \(D\) из условия жесткости. Условие жесткости: \(\theta = \frac{T}{G \cdot I_p} \le [\theta]\), где \(I_p = 0,1 \cdot d^4\). Переведем допустимый угол в радианы: \([\theta] = \frac{0,5 \cdot \pi}{180} \approx 0,00873 \, рад/м\). Для участка 2 (самый гибкий): \[D \ge \sqrt[4]{\frac{T_2}{G \cdot 0,1 \cdot [\theta]}} = \sqrt[4]{\frac{100}{8 \cdot 10^{10} \cdot 0,1 \cdot 0,00873}} \approx 0,0346 \, м = 34,6 \, мм\] Принимаем большее значение из условий прочности и жесткости: \(D = 35 \, мм\). 5. Построение эпюры \(\tau_{max}\). Подставим \(D = 0,035 \, м\) в формулы напряжений: \[\tau_1 = \frac{500}{1,6 \cdot 0,035^3} \approx 7,29 \, МПа\] \[\tau_2 = \frac{100}{0,2 \cdot 0,035^3} \approx 11,66 \, МПа\] \[\tau_3 = \frac{300}{1,6 \cdot 0,035^3} \approx 4,37 \, МПа\] 6. Полный угол закручивания вала \(\phi\). \[\phi = \sum \frac{T_i \cdot l_i}{G \cdot I_{pi}}\] \[I_{p2} = 0,1 \cdot D^4 = 0,1 \cdot 0,035^4 \approx 1,5 \cdot 10^{-7} \, м^4\] \[I_{p1} = I_{p3} = 0,1 \cdot (2D)^4 = 16 \cdot I_{p2} \approx 2,4 \cdot 10^{-6} \, м^4\] \[\phi = \frac{0,2}{8 \cdot 10^{10}} \cdot \left( \frac{500}{2,4 \cdot 10^{-6}} + \frac{100}{1,5 \cdot 10^{-7}} + \frac{300}{2,4 \cdot 10^{-6}} \right) \approx 0,0025 \, рад \approx 0,14^\circ\]