Построение Линии Пересечения Двух Плоскостей

Задача 4.2. Построить линию пересечения двух плоскостей \( \alpha (\alpha_V, \alpha_H) \) и \( \beta (\triangle ABC) \). Для решения этой задачи используется метод вспомогательных секущих плоскостей частного положения (обычно горизонтальных или фронтальных плоскостей уровня). Алгоритм решения для записи в тетрадь: 1. Введем вспомогательную горизонтальную плоскость уровня \( \gamma_1 \). Проведем ее через одну из вершин треугольника, например, через точку \( B \). На чертеже фронтальный след \( \gamma_{1V} \) пройдет через \( B'' \) параллельно оси \( X \). 2. Найдем линию пересечения плоскости \( \gamma_1 \) с плоскостью \( \alpha \). Это будет горизонталь плоскости \( \alpha \). \( \bullet \) Отметим точку \( 1'' \) на пересечении \( \gamma_{1V} \) и фронтального следа \( \alpha_V \). \( \bullet \) По линии связи найдем \( 1' \) на оси \( X \). \( \bullet \) Проведем через \( 1' \) прямую, параллельную горизонтальному следу \( \alpha_H \). 3. Найдем линию пересечения плоскости \( \gamma_1 \) с плоскостью \( \beta (\triangle ABC) \). Это будет горизонталь треугольника. \( \bullet \) Отметим точку \( 2'' \) на пересечении \( \gamma_{1V} \) со стороной \( A''C'' \). \( \bullet \) По линии связи найдем \( 2' \) на стороне \( A'C' \). \( \bullet \) Соединим \( B' \) и \( 2' \). 4. На пересечении двух полученных прямых в горизонтальной проекции (горизонтали плоскости \( \alpha \) и горизонтали треугольника) находим первую точку линии пересечения — точку \( K' \). По линии связи находим \( K'' \) на \( \gamma_{1V} \). 5. Повторим действия, введя вторую вспомогательную плоскость \( \gamma_2 \) (например, через точку \( C \) или просто ниже первой). \( \bullet \) Находим вторую точку пересечения \( M' \) и \( M'' \) аналогичным способом. 6. Соединяем полученные точки \( K \) и \( M \). Отрезок \( KM \) (в пределах треугольника) и будет искомой линией пересечения плоскостей. Краткая запись хода построения: \[ \gamma_1 \parallel \pi_1 \Rightarrow \gamma_{1V} \cap \alpha_V = 1'', \gamma_{1V} \cap A''C'' = 2'' \] \[ K' = h_{\alpha}' \cap B'2' \text{ (где } h_{\alpha}' \parallel \alpha_H \text{)} \] \[ \gamma_2 \parallel \pi_1 \Rightarrow M' = h_{\alpha 2}' \cap \text{линия уровня } \triangle ABC \] \[ l = KM \text{ — искомая линия} \]