Пересечение прямой и плоскости: решение задачи с объяснением

Задача 4.4. Построить точку пересечения прямой \( l \) с плоскостью \( \alpha \). Чтобы найти, где прямая «протыкает» плоскость, нужно выполнить три простых шага. Представь, что прямая — это стрела, а плоскость — мишень. **Простое объяснение:** 1. **Заключаем прямую в «стену»:** Проведи через прямую \( l \) вспомогательную плоскость. Проще всего сделать её вертикальной (горизонтально-проецирующей). На чертеже это значит, что мы просто считаем линию \( l' \) следом этой «стены». 2. **Находим линию встречи:** Находим, где наша «стена» пересекается с плоскостью \( \alpha \). \( \bullet \) Точка \( 1 \) — на пересечении \( l' \) и оси \( X \). Поднимаем её на \( \alpha_V \), получаем \( 1'' \). \( \bullet \) Точка \( 2 \) — на пересечении \( l' \) и следа \( \alpha_H \). Поднимаем её на ось \( X \), получаем \( 2'' \). \( \bullet \) Соединяем \( 1'' \) и \( 2'' \). Это линия, по которой наша «стена» режет плоскость \( \alpha \). 3. **Находим точку:** Там, где линия \( 1''-2'' \) пересеклась с самой прямой \( l'' \), и находится искомая точка \( K'' \). Опускаем её вниз на \( l' \), получаем \( K' \). --- **Алгоритм решения символами (записать в тетрадь):** \[ 1. \text{ Заключаем } l \text{ во вспомогательную плоскость } \gamma: \gamma_H \equiv l' \] \[ 2. \text{ Строим линию пересечения } m = \alpha \cap \gamma: \] \[ \bullet \text{ } 1 = \gamma_H \cap X \Rightarrow 1'' \in \alpha_V \] \[ \bullet \text{ } 2 = \gamma_H \cap \alpha_H \Rightarrow 2'' \in X \] \[ \bullet \text{ } m'' = (1''2'') \] \[ 3. \text{ Находим точку пересечения } K: \] \[ \bullet \text{ } K'' = m'' \cap l'' \] \[ \bullet \text{ } K' \in l' \text{ (по линии связи)} \] **Итог:** Точка \( K (K', K'') \) — искомая точка пересечения прямой с плоскостью. Не забудь отметить видимость прямой: после точки \( K \) одна часть прямой станет «невидимой» (пунктиром), так как она уйдет за плоскость.