Решение задачи: построение углов, биссектрис, перпендикуляров и середины отрезка

Отлично! Давайте пошагово разберем, как выполнить все эти построения с помощью циркуля и линейки. Я буду описывать каждый шаг так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. ---

Построение углов, равных данному

Предположим, у нас есть данный угол \(ABC\). Нам нужно построить острый и тупой углы, равные ему.

Построение острого угла, равного данному

1. Начертим луч \(O_1K\). Это будет одна из сторон нашего нового угла. 2. Возьмем циркуль и, установив его острие в вершину данного угла \(B\), проведем дугу, которая пересечет обе стороны угла \(BA\) и \(BC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. 3. Не меняя раствора циркуля, установим его острие в точку \(O_1\) и проведем дугу, которая пересечет луч \(O_1K\) в точке \(M\). 4. Измерим циркулем расстояние между точками \(D\) и \(E\) на данном угле. 5. Не меняя раствора циркуля, установим его острие в точку \(M\) и проведем дугу, которая пересечет предыдущую дугу (проведенную из \(O_1\)) в точке \(N\). 6. Проведем луч \(O_1N\). 7. Угол \(KO_1N\) будет равен данному углу \(ABC\). Если данный угол \(ABC\) был острым, то и построенный угол \(KO_1N\) будет острым.

Построение тупого угла, равного данному

Процесс абсолютно такой же, как и для острого угла. Если данный угол \(ABC\) был тупым, то, следуя тем же шагам, мы построим тупой угол \(KO_1N\), равный ему. 1. Начертим луч \(O_2P\). 2. Возьмем циркуль и, установив его острие в вершину данного угла \(B\), проведем дугу, которая пересечет обе стороны угла \(BA\) и \(BC\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно. 3. Не меняя раствора циркуля, установим его острие в точку \(O_2\) и проведем дугу, которая пересечет луч \(O_2P\) в точке \(Q\). 4. Измерим циркулем расстояние между точками \(D\) и \(E\) на данном угле. 5. Не меняя раствора циркуля, установим его острие в точку \(Q\) и проведем дугу, которая пересечет предыдущую дугу (проведенную из \(O_2\)) в точке \(R\). 6. Проведем луч \(O_2R\). 7. Угол \(PO_2R\) будет равен данному углу \(ABC\). Если данный угол \(ABC\) был тупым, то и построенный угол \(PO_2R\) будет тупым. ---

Построение биссектрисы угла

Биссектриса - это луч, который делит угол пополам.

Построение биссектрисы для тупого угла

Предположим, у нас есть тупой угол \(XYZ\). 1. Установим острие циркуля в вершину угла \(Y\) и проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет обе стороны угла \(YX\) и \(YZ\) в точках \(A\) и \(B\) соответственно. 2. Не меняя раствора циркуля (или изменив его, но так, чтобы он был больше половины расстояния \(AB\)), установим острие циркуля в точку \(A\) и проведем дугу внутри угла. 3. Не меняя раствора циркуля, установим острие циркуля в точку \(B\) и проведем еще одну дугу внутри угла, которая пересечет первую дугу в точке \(C\). 4. Проведем луч из вершины угла \(Y\) через точку \(C\). 5. Этот луч \(YC\) является биссектрисой тупого угла \(XYZ\).

Построение биссектрисы для острого угла

Предположим, у нас есть острый угол \(DEF\). 1. Установим острие циркуля в вершину угла \(E\) и проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет обе стороны угла \(ED\) и \(EF\) в точках \(G\) и \(H\) соответственно. 2. Не меняя раствора циркуля (или изменив его, но так, чтобы он был больше половины расстояния \(GH\)), установим острие циркуля в точку \(G\) и проведем дугу внутри угла. 3. Не меняя раствора циркуля, установим острие циркуля в точку \(H\) и проведем еще одну дугу внутри угла, которая пересечет первую дугу в точке \(I\). 4. Проведем луч из вершины угла \(E\) через точку \(I\). 5. Этот луч \(EI\) является биссектрисой острого угла \(DEF\). ---

Построение перпендикулярных прямых

Перпендикулярные прямые - это прямые, которые пересекаются под прямым углом (90 градусов).

Построение перпендикуляра к прямой через точку на ней

Предположим, у нас есть прямая \(l\) и точка \(P\) на этой прямой. 1. Установим острие циркуля в точку \(P\) и проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую \(l\) в двух точках \(A\) и \(B\). Точки \(A\) и \(B\) будут равноудалены от \(P\). 2. Увеличим раствор циркуля (так, чтобы он был больше расстояния \(AP\)). Установим острие циркуля в точку \(A\) и проведем дугу над прямой \(l\). 3. Не меняя раствора циркуля, установим острие циркуля в точку \(B\) и проведем еще одну дугу над прямой \(l\), которая пересечет первую дугу в точке \(C\). 4. Проведем прямую через точки \(P\) и \(C\). 5. Эта прямая \(PC\) будет перпендикулярна прямой \(l\) и проходить через точку \(P\).

Построение перпендикуляра к прямой через точку вне ее

Предположим, у нас есть прямая \(m\) и точка \(Q\), не лежащая на этой прямой. 1. Установим острие циркуля в точку \(Q\) и проведем дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую \(m\) в двух точках \(D\) и \(E\). 2. Установим острие циркуля в точку \(D\) и проведем дугу под прямой \(m\) (или с другой стороны от \(Q\)). 3. Не меняя раствора циркуля, установим острие циркуля в точку \(E\) и проведем еще одну дугу под прямой \(m\), которая пересечет первую дугу в точке \(F\). 4. Проведем прямую через точки \(Q\) и \(F\). 5. Эта прямая \(QF\) будет перпендикулярна прямой \(m\) и проходить через точку \(Q\). ---

Построение середины отрезка

Предположим, у нас есть отрезок \(AB\). 1. Установим острие циркуля в точку \(A\) и проведем дугу радиусом, который больше половины длины отрезка \(AB\). Проведем эту дугу с обеих сторон от отрезка. 2. Не меняя раствора циркуля, установим острие циркуля в точку \(B\) и проведем еще одну дугу того же радиуса, которая пересечет первую дугу в двух точках \(C\) и \(D\). 3. Проведем прямую через точки \(C\) и \(D\). 4. Эта прямая \(CD\) является серединным перпендикуляром к отрезку \(AB\). Точка пересечения прямой \(CD\) с отрезком \(AB\) (назовем ее \(M\)) будет серединой отрезка \(AB\). --- Надеюсь, эти подробные инструкции помогут вам выполнить все построения!