Как внести выражение под знак дифференциала: Пошаговое решение

Для того чтобы переписать это пояснение в тетрадь, можно оформить его следующим образом: Шаг внесения под знак дифференциала необходим для того, чтобы привести интеграл к табличному виду \( \int u^a du \). 1. Изначально у нас есть дифференциал \( dn \), но в основании степени стоит выражение \( (4n + 5) \). Чтобы применить формулу интегрирования, нам нужно, чтобы переменная под знаком дифференциала совпадала с основанием степени. 2. Вспомним связь между дифференциалом функции и её производной: \[ d(f(n)) = f'(n) \cdot dn \] 3. Найдём дифференциал выражения \( (4n + 5) \): \[ d(4n + 5) = (4n + 5)' \cdot dn = 4 \cdot dn \] 4. Из полученного равенства \( d(4n + 5) = 4 dn \) выразим \( dn \), который присутствует в нашем интеграле: \[ dn = \frac{1}{4} d(4n + 5) \] 5. Теперь подставим это выражение в интеграл: \[ \int (4n + 5)^{-3/4} dn = \int (4n + 5)^{-3/4} \cdot \frac{1}{4} d(4n + 5) \] 6. По свойствам интеграла вынесем константу \( \frac{1}{4} \) за знак интеграла: \[ \frac{1}{4} \int (4n + 5)^{-3/4} d(4n + 5) \] Теперь интеграл имеет вид \( \int u^{-3/4} du \), где \( u = 4n + 5 \), и его можно легко вычислить по стандартной формуле для степенной функции.