Решение задачи: Разложение функции в ряд Фурье

Задание: Разложить в ряд Фурье в комплексной форме функцию \( f(x) \), заданную на интервале \( [-1, 1] \), а затем представить этот ряд в действительной форме. Дано: \[ f(x) = \begin{cases} -x-1, & x \in [-1, 0) \\ -x+1, & x \in [0, 1] \end{cases} \] Период \( T = 2l = 2 \), следовательно, \( l = 1 \). 1. Комплексная форма ряда Фурье Комплексная форма ряда Фурье имеет вид: \[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \pi x} \] где коэффициенты \( c_n \) вычисляются по формуле: \[ c_n = \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) e^{-i n \pi x} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) e^{-i n \pi x} dx \] Вычислим \( c_0 \) (при \( n = 0 \)): \[ c_0 = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{0} (-x-1) dx + \int_{0}^{1} (-x+1) dx \right) \] \[ c_0 = \frac{1}{2} \left( \left[ -\frac{x^2}{2} - x \right]_{-1}^{0} + \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} \right) \] \[ c_0 = \frac{1}{2} \left( (0 - 0) - (-\frac{1}{2} + 1) + (-\frac{1}{2} + 1) - (0 + 0) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0 \] Вычислим \( c_n \) при \( n \neq 0 \): \[ c_n = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{0} (-x-1) e^{-i n \pi x} dx + \int_{0}^{1} (-x+1) e^{-i n \pi x} dx \right) \] Используем интегрирование по частям \( \int u dv = uv - \int v du \). Для обоих интегралов \( dv = e^{-i n \pi x} dx \), тогда \( v = \frac{e^{-i n \pi x}}{-i n \pi} \). После преобразований и подстановок (учитывая, что \( e^{i n \pi} = e^{-i n \pi} = (-1)^n \)): \[ c_n = \frac{1}{2} \left( \left[ \frac{(-x-1)e^{-in\pi x}}{-in\pi} \right]_{-1}^{0} - \int_{-1}^{0} \frac{e^{-in\pi x}}{in\pi} dx + \left[ \frac{(-x+1)e^{-in\pi x}}{-in\pi} \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{e^{-in\pi x}}{in\pi} dx \right) \] Заметим, что функция \( f(x) \) является нечетной на интервале \( [-1, 1] \) (с точностью до точек разрыва), так как \( f(-x) = -f(x) \). Для нечетной функции \( c_n \) будет чисто мнимым. \[ c_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{-in\pi} - \frac{1}{-in\pi} \right) + \dots = \frac{1}{i n \pi} = -\frac{i}{n \pi} \] Комплексная форма ряда: \[ f(x) = \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \left( -\frac{i}{n \pi} \right) e^{i n \pi x} \] 2. Действительная форма ряда Фурье Для нечетной функции коэффициенты \( a_n = 0 \), а коэффициенты \( b_n \) связаны с \( c_n \) соотношением \( b_n = i(c_n - c_{-n}) \). \[ b_n = i \left( -\frac{i}{n \pi} - \left( -\frac{i}{-n \pi} \right) \right) = i \left( -\frac{i}{n \pi} - \frac{i}{n \pi} \right) = i \left( -\frac{2i}{n \pi} \right) = \frac{2}{n \pi} \] Действительная форма ряда Фурье: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(n \pi x) + b_n \sin(n \pi x)) \] Так как \( a_n = 0 \): \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n \pi} \sin(n \pi x) \] Ответ: Комплексная форма: \( f(x) = \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \frac{1}{i n \pi} e^{i n \pi x} \) Действительная форма: \( f(x) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n \pi x)}{n} \)