Практическая работа
на применение формул двойного угла
Задание 1. Используя формулы двойного угла, упростите выражения:
1) \( \frac{\sin 2t}{\cos t} - \sin t \) Используем формулу 15: \( \sin 2t = 2\sin t \cos t \) \( \frac{2\sin t \cos t}{\cos t} - \sin t \) Сокращаем \( \cos t \): \( 2\sin t - \sin t \) \( = \sin t \)
2) \( \frac{\sin 6t}{\cos^2 (3t)} \) Используем формулу 15 для \( \sin 6t = \sin (2 \cdot 3t) = 2\sin 3t \cos 3t \) \( \frac{2\sin 3t \cos 3t}{\cos^2 (3t)} \) Сокращаем \( \cos 3t \): \( = \frac{2\sin 3t}{\cos 3t} \) \( = 2\tan 3t \)
3) \( \cos^2 t - \cos 2t \) Используем формулу 17: \( \cos 2t = 2\cos^2 t - 1 \) \( \cos^2 t - (2\cos^2 t - 1) \) \( = \cos^2 t - 2\cos^2 t + 1 \) \( = 1 - \cos^2 t \) Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \), откуда \( 1 - \cos^2 t = \sin^2 t \) \( = \sin^2 t \)
4) \( \frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} - \sin t \) Используем формулу 16: \( \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t \) \( \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t - \sin t} - \sin t \) Разложим числитель как разность квадратов: \( \cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t) \) \( \frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t - \sin t} - \sin t \) Сокращаем \( (\cos t - \sin t) \): \( \cos t + \sin t - \sin t \) \( = \cos t \)
5) \( \frac{\sin 40^\circ}{\sin 20^\circ} \) Используем формулу 15 для \( \sin 40^\circ = \sin (2 \cdot 20^\circ) = 2\sin 20^\circ \cos 20^\circ \) \( \frac{2\sin 20^\circ \cos 20^\circ}{\sin 20^\circ} \) Сокращаем \( \sin 20^\circ \): \( = 2\cos 20^\circ \)
6) \( \frac{\sin 100^\circ}{2\cos 50^\circ} \) Используем формулу 15 для \( \sin 100^\circ = \sin (2 \cdot 50^\circ) = 2\sin 50^\circ \cos 50^\circ \) \( \frac{2\sin 50^\circ \cos 50^\circ}{2\cos 50^\circ} \) Сокращаем \( 2\cos 50^\circ \): \( = \sin 50^\circ \)
7) \( \frac{\cos 80^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} \) Используем формулу 16: \( \cos 80^\circ = \cos (2 \cdot 40^\circ) = \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ \) \( \frac{\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} \) Разложим числитель как разность квадратов: \( \cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = (\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ) \) \( \frac{(\cos 40^\circ - \sin 40^\circ)(\cos 40^\circ + \sin 40^\circ)}{\cos 40^\circ + \sin 40^\circ} \) Сокращаем \( (\cos 40^\circ + \sin 40^\circ) \): \( = \cos 40^\circ - \sin 40^\circ \)
8) \( \cos 18^\circ \cos 36^\circ + \sin^2 (18^\circ) \) Это выражение не является прямой формулой двойного угла. Перепишем \( \cos 36^\circ \) как \( \cos (2 \cdot 18^\circ) \). Используем формулу 17: \( \cos 36^\circ = \cos (2 \cdot 18^\circ) = \cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ \) Подставим это в выражение: \( \cos 18^\circ (\cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ \) Это не упрощает выражение до чего-то очевидного. Возможно, в задании опечатка или требуется другое преобразование. Если бы было \( \cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ \), то это было бы \( \cos 36^\circ \). Рассмотрим другой подход. Используем формулу 17: \( \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \), откуда \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \) \( \sin^2 18^\circ = \frac{1 - \cos 36^\circ}{2} \) Подставим: \( \cos 18^\circ \cos 36^\circ + \frac{1 - \cos 36^\circ}{2} \) Это тоже не приводит к простому выражению. Давайте перепроверим задание. Если бы было \( \cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ \), то это было бы \( \cos 36^\circ \). Если бы было \( \cos^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ \), то это было бы 1. Если бы было \( \cos^2 18^\circ - \cos 36^\circ \), то это было бы \( \sin^2 18^\circ \). Предположим, что задание имело в виду: \( \cos^2 18^\circ - \cos 36^\circ \). Тогда: \( \cos^2 18^\circ - (2\cos^2 18^\circ - 1) = \cos^2 18^\circ - 2\cos^2 18^\circ + 1 = 1 - \cos^2 18^\circ = \sin^2 18^\circ \). Но в задании \( \cos 18^\circ \cos 36^\circ + \sin^2 (18^\circ) \). Возможно, это часть более сложной формулы или опечатка. Если это не опечатка, то упрощение будет не таким очевидным. Давайте попробуем выразить \( \cos 36^\circ \) через \( \cos 18^\circ \) и \( \sin 18^\circ \). \( \cos 18^\circ (\cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ) + \sin^2 18^\circ \) \( = \cos^3 18^\circ - \cos 18^\circ \sin^2 18^\circ + \sin^2 18^\circ \) \( = \cos^3 18^\circ + \sin^2 18^\circ (1 - \cos 18^\circ) \) Это не упрощается до простого выражения. Если бы задание было \( \cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ \), то это было бы \( \cos 36^\circ \). Если бы задание было \( \cos^2 18^\circ + \cos 36^\circ \), то это было бы \( \cos^2 18^\circ + (2\cos^2 18^\circ - 1) = 3\cos^2 18^\circ - 1 \). Если бы задание было \( \cos 18^\circ \cos 36^\circ + \sin^2 18^\circ \), то это не упрощается до простого выражения с использованием только формул двойного угла. Возможно, это часть формулы для \( \cos 3\alpha \) или \( \sin 3\alpha \), но это выходит за рамки формул двойного угла. Предположим, что задание было: \( \cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ \). Тогда: \( \cos^2 18^\circ - \sin^2 18^\circ = \cos (2 \cdot 18^\circ) = \cos 36^\circ \). Если же задание точно такое, как написано, то оно не упрощается до простого выражения с помощью только формул двойного угла. Я оставлю его в таком виде, как есть, но отмечу, что оно не упрощается очевидным образом.
9) \( \frac{\sin t}{2\cos^2 (t/2)} \) Используем формулу 15 для \( \sin t = \sin (2 \cdot t/2) = 2\sin (t/2) \cos (t/2) \) \( \frac{2\sin (t/2) \cos (t/2)}{2\cos^2 (t/2)} \) Сокращаем \( 2\cos (t/2) \): \( = \frac{\sin (t/2)}{\cos (t/2)} \) \( = \tan (t/2) \)
10) \( \frac{\sin 4t}{\cos 2t} \) Используем формулу 15 для \( \sin 4t = \sin (2 \cdot 2t) = 2\sin 2t \cos 2t \) \( \frac{2\sin 2t \cos 2t}{\cos 2t} \) Сокращаем \( \cos 2t \): \( = 2\sin 2t \)
Задание 2. Найдите значения выражения, используя формулы двойного угла:
1) \( 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ \) Используем формулу 15: \( 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \) \( 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin (2 \cdot 15^\circ) \) \( = \sin 30^\circ \) \( = \frac{1}{2} \)
2) \( (\cos 75^\circ - \sin 75^\circ)^2 \) Раскроем квадрат разности: \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) \( \cos^2 75^\circ - 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ + \sin^2 75^\circ \) Перегруппируем: \( (\cos^2 75^\circ + \sin^2 75^\circ) - 2\sin 75^\circ \cos 75^\circ \) Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \) Используем формулу 15: \( 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha \) \( 1 - \sin (2 \cdot 75^\circ) \) \( = 1 - \sin 150^\circ \) Так как \( \sin 150^\circ = \sin (180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) \( = 1 - \frac{1}{2} \) \( = \frac{1}{2} \)
3) \( \cos^2 (15^\circ) - \sin^2 (15^\circ) \) Используем формулу 16: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos 2\alpha \) \( \cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ = \cos (2 \cdot 15^\circ) \) \( = \cos 30^\circ \) \( = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
4) \( (\cos 15^\circ - \sin 15^\circ)^2 \) Это выражение идентично заданию 2.2. Раскроем квадрат разности: \( \cos^2 15^\circ - 2\sin 15^\circ \cos 15^\circ + \sin^2 15^\circ \) Перегруппи