Решение задачи по теории множеств: A = (-3; 2], B = [0; +∞)

Ниже представлено решение задач из вашей контрольной работы, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. Даны множества \( A = (-3; 2] \) и \( B = [0; +\infty) \). Найдем операции над ними: 1) Объединение: \( A \cup B = (-3; +\infty) \). 2) Пересечение: \( A \cap B = [0; 2] \). 3) Разность \( B \setminus A \): элементы, которые есть в \( B \), но нет в \( A \). Это \( (2; +\infty) \). 4) Разность \( A \setminus B \): элементы, которые есть в \( A \), но нет в \( B \). Это \( (-3; 0) \). 5) Симметрическая разность: \( A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (-3; 0) \cup (2; +\infty) \). Для изображения на диаграмме Эйлера-Венна нарисуйте два пересекающихся круга. Общая часть (пересечение) соответствует интервалу \( [0; 2] \). Задача 4. На станции 7 путей, нужно расставить 4 поезда. Так как порядок поездов на путях важен (какой поезд на каком пути), используем формулу размещений из \( n \) по \( k \): \[ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} \] Подставим значения \( n=7, k=4 \): \[ A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840 \] Ответ: 840 способами. Задача 5. Имеется 7 видов овощей и 7 грядок. Каждый вид на отдельной грядке. Это задача на перестановки \( n \) элементов: \[ P_n = n! \] Для \( n=7 \): \[ P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040 \] Ответ: 5040 способами. Задача 8. Найдем область истинности предиката: \[ \frac{x^5 - 16x}{x^2 + 3x - 10} \le 0 \] Разложим числитель и знаменатель на множители: Числитель: \( x(x^4 - 16) = x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4) \). Знаменатель: \( x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2) \). Получаем неравенство: \[ \frac{x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x + 5)(x - 2)} \le 0 \] Учтем область допустимых значений: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -5 \). Сократим на \( (x - 2) \), помня о выколотой точке: \[ \frac{x(x + 2)(x^2 + 4)}{x + 5} \le 0, \quad x \neq 2 \] Так как \( x^2 + 4 \) всегда больше нуля, оно не влияет на знак. Решим методом интервалов для \( \frac{x(x + 2)}{x + 5} \le 0 \): Критические точки: \( -5 \) (выколота), \( -2 \), \( 0 \). 1) \( (-\infty; -5) \) — знак минус (подходит). 2) \( (-5; -2] \) — знак плюс. 3) \( [-2; 0] \) — знак минус (подходит). 4) \( [0; +\infty) \) — знак плюс. Исключаем точку \( x = 2 \), она попадает в четвертый интервал и не влияет на решение. Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup [-2; 0] \). Задача 9. Привести к предваренной нормальной форме (ПНФ) формулу \( A \equiv \forall x (A(x) \to \exists y B(y)) \). Используем равносильность \( P \to Q \equiv \neg P \lor Q \): \[ \forall x (\neg A(x) \lor \exists y B(y)) \] Так как \( \exists y B(y) \) не зависит от \( x \), выносим квантор существования вперед: \[ \forall x \exists y (\neg A(x) \lor B(y)) \] Это и есть ПНФ. Найдем отрицание: \[ \neg (\forall x \exists y (\neg A(x) \lor B(y))) \equiv \exists x \forall y \neg (\neg A(x) \lor B(y)) \equiv \exists x \forall y (A(x) \land \neg B(y)) \] Ответ: ПНФ: \( \forall x \exists y (\neg A(x) \lor B(y)) \); Отрицание: \( \exists x \forall y (A(x) \land \neg B(y)) \).