Решение: Реши задачу: Правильно решение пожалуйста

Задание: Разложить в ряд Фурье функцию с периодом \( 2\pi \), заданную графически на отрезке \( [-\pi; \pi] \). Решение: 1. Аналитическое описание функции. По графику определим вид функции на заданном интервале: На отрезке \( [-\pi; 0] \) функция представляет собой прямую, проходящую через точки \( (-\pi; -\frac{\pi}{3}) \) и \( (0; 0) \). Уравнение прямой: \( y = \frac{1}{3}x \). На отрезке \( (0; \pi] \) функция постоянна и равна \( \frac{\pi}{3} \). Таким образом: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{3}, & -\pi \le x \le 0 \\ \frac{\pi}{3}, & 0 < x \le \pi \end{cases} \] 2. Общий вид ряда Фурье: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)) \] 3. Вычисление коэффициента \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \frac{x}{3} dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} dx \right) \] \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \left( \left[ \frac{x^2}{6} \right]_{-\pi}^{0} + \left[ \frac{\pi x}{3} \right]_{0}^{\pi} \right) = \frac{1}{\pi} \left( (0 - \frac{\pi^2}{6}) + (\frac{\pi^2}{3} - 0) \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi}{6} \] 4. Вычисление коэффициентов \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \frac{x}{3} \cos(nx) dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} \cos(nx) dx \right) \] Первый интеграл берем по частям (\( u = x, dv = \cos(nx)dx \)): \[ \int_{-\pi}^{0} x \cos(nx) dx = \left[ \frac{x \sin(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{0} - \int_{-\pi}^{0} \frac{\sin(nx)}{n} dx = 0 + \left[ \frac{\cos(nx)}{n^2} \right]_{-\pi}^{0} = \frac{1 - (-1)^n}{n^2} \] Второй интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} \cos(nx) dx = \frac{\pi}{3} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = 0 \] Итого: \[ a_n = \frac{1}{3\pi} \cdot \frac{1 - (-1)^n}{n^2} = \frac{1 - (-1)^n}{3\pi n^2} \] 5. Вычисление коэффициентов \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} \frac{x}{3} \sin(nx) dx + \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} \sin(nx) dx \right) \] Первый интеграл по частям: \[ \int_{-\pi}^{0} x \sin(nx) dx = \left[ -\frac{x \cos(nx)}{n} \right]_{-\pi}^{0} + \int_{-\pi}^{0} \frac{\cos(nx)}{n} dx = (0 - \frac{\pi (-1)^n}{n}) + 0 = -\frac{\pi (-1)^n}{n} \] Второй интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} \sin(nx) dx = \frac{\pi}{3} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\pi}{3n} ((-1)^n - 1) = \frac{\pi(1 - (-1)^n)}{3n} \] Собираем \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{-\pi (-1)^n}{3n} + \frac{\pi(1 - (-1)^n)}{3n} \right) = \frac{1 - 2(-1)^n}{3n} \] 6. Ответ (запись ряда): \[ f(x) = \frac{\pi}{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1 - (-1)^n}{3\pi n^2} \cos(nx) + \frac{1 - 2(-1)^n}{3n} \sin(nx) \right) \]