Разложение функции в ряд Фурье

Задание 3. Разложение функции в ряд Фурье. Дана функция: \[ f(x) = \begin{cases} -x-1, & x \in [-1; 0) \\ -x+1, & x \in [0; 1] \end{cases} \] Период функции \( T = 2l = 2 \), следовательно, полупериод \( l = 1 \). 1. Разложение в комплексной форме. Комплексная форма ряда Фурье имеет вид: \[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \pi x} \] Коэффициенты \( c_n \) вычисляются по формуле: \[ c_n = \frac{1}{2l} \int_{-l}^{l} f(x) e^{-i n \pi x} dx = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) e^{-i n \pi x} dx \] Найдем \( c_0 \) (при \( n = 0 \)): \[ c_0 = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{0} (-x-1) dx + \int_{0}^{1} (-x+1) dx \right) \] \[ c_0 = \frac{1}{2} \left( \left[ -\frac{x^2}{2} - x \right]_{-1}^{0} + \left[ -\frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} \right) \] \[ c_0 = \frac{1}{2} \left( (0) - (-\frac{1}{2} + 1) + (-\frac{1}{2} + 1) - (0) \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = 0 \] Найдем \( c_n \) при \( n \neq 0 \): \[ c_n = \frac{1}{2} \left( \int_{-1}^{0} (-x-1) e^{-i n \pi x} dx + \int_{0}^{1} (-x+1) e^{-i n \pi x} dx \right) \] Используем интегрирование по частям \( \int u dv = uv - \int v du \). Для обоих интегралов \( dv = e^{-i n \pi x} dx \), тогда \( v = \frac{e^{-i n \pi x}}{-i n \pi} \). После вычислений и подстановок (учитывая, что \( e^{i n \pi} = e^{-i n \pi} = (-1)^n \)): \[ c_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{i n \pi} + \frac{1}{i n \pi} \right) = \frac{1}{i n \pi} = -\frac{i}{n \pi} \] Комплексная форма ряда: \[ f(x) = \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \frac{1}{i n \pi} e^{i n \pi x} \] 2. Представление в действительной форме. Действительная форма ряда Фурье: \[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos(n \pi x) + b_n \sin(n \pi x)) \] Связь коэффициентов: \[ a_n = c_n + c_{-n}, \quad b_n = i(c_n - c_{-n}) \] Так как \( c_0 = 0 \), то \( a_0 = 0 \). \[ a_n = \frac{1}{i n \pi} + \frac{1}{i (-n) \pi} = \frac{1}{i n \pi} - \frac{1}{i n \pi} = 0 \] \[ b_n = i \left( \frac{1}{i n \pi} - \frac{1}{i (-n) \pi} \right) = i \left( \frac{1}{i n \pi} + \frac{1}{i n \pi} \right) = i \frac{2}{i n \pi} = \frac{2}{n \pi} \] Действительная форма ряда: \[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n \pi} \sin(n \pi x) \] Ответ: Комплексная форма: \( f(x) = \sum_{n=-\infty, n \neq 0}^{\infty} \frac{1}{i n \pi} e^{i n \pi x} \) Действительная форма: \( f(x) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n \pi x)}{n} \)