Решение: Представление функции e^(-x) в виде интеграла Фурье

Задача 4.10. Представить функцию в виде интеграла Фурье. Дана функция: \[ f(x) = \begin{cases} e^{-x}, & x > 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \] Решение: Интеграл Фурье для функции \( f(x) \) имеет вид: \[ f(x) = \int_{0}^{\infty} [A(\lambda) \cos(\lambda x) + B(\lambda) \sin(\lambda x)] d\lambda \] Где коэффициенты определяются по формулам: \[ A(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(\lambda t) dt \] \[ B(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(\lambda t) dt \] 1. Вычислим коэффициент \( A(\lambda) \). Так как \( f(t) = 0 \) при \( t < 0 \), пределы интегрирования изменятся: \[ A(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-t} \cos(\lambda t) dt \] Для вычисления этого интеграла воспользуемся табличным значением или методом интегрирования по частям дважды: \[ \int e^{at} \cos(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \cos(bt) + b \sin(bt)) \] В нашем случае \( a = -1 \), \( b = \lambda \): \[ A(\lambda) = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{-t}}{1 + \lambda^2} (-\cos(\lambda t) + \lambda \sin(\lambda t)) \right]_{0}^{\infty} \] При \( t \to \infty \) выражение стремится к 0. При \( t = 0 \): \[ A(\lambda) = \frac{1}{\pi} \left( 0 - \frac{1}{1 + \lambda^2} (-1 + 0) \right) = \frac{1}{\pi(1 + \lambda^2)} \] 2. Вычислим коэффициент \( B(\lambda) \): \[ B(\lambda) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-t} \sin(\lambda t) dt \] Используем формулу: \[ \int e^{at} \sin(bt) dt = \frac{e^{at}}{a^2 + b^2} (a \sin(bt) - b \cos(bt)) \] \[ B(\lambda) = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^{-t}}{1 + \lambda^2} (-\sin(\lambda t) - \lambda \cos(\lambda t)) \right]_{0}^{\infty} \] При \( t \to \infty \) предел равен 0. При \( t = 0 \): \[ B(\lambda) = \frac{1}{\pi} \left( 0 - \frac{1}{1 + \lambda^2} (0 - \lambda) \right) = \frac{\lambda}{\pi(1 + \lambda^2)} \] 3. Подставим найденные коэффициенты в общую формулу интеграла Фурье: \[ f(x) = \int_{0}^{\infty} \left[ \frac{1}{\pi(1 + \lambda^2)} \cos(\lambda x) + \frac{\lambda}{\pi(1 + \lambda^2)} \sin(\lambda x) \right] d\lambda \] Вынесем общий множитель за скобки: \[ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\lambda x) + \lambda \sin(\lambda x)}{1 + \lambda^2} d\lambda \] Ответ: \[ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{\cos(\lambda x) + \lambda \sin(\lambda x)}{1 + \lambda^2} d\lambda \]