Решение задачи: По графику оригинала найти изображение

Задание 5. По данному графику оригинала найти изображение. Решение: 1. Сначала запишем аналитическое выражение для функции-оригинала \( f(t) \), используя единичную ступенчатую функцию Хевисайда \( \eta(t) \). Из графика видно, что функция представляет собой сумму двух прямоугольных импульсов: - Первый импульс имеет амплитуду 1 на интервале от \( a \) до \( 2a \). - Второй импульс имеет амплитуду \( 1/2 \) на интервале от \( 2a \) до \( 3a \). Запишем это в виде суммы ступенчатых функций: \[ f(t) = 1 \cdot (\eta(t - a) - \eta(t - 2a)) + \frac{1}{2} \cdot (\eta(t - 2a) - \eta(t - 3a)) \] Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ f(t) = \eta(t - a) - \eta(t - 2a) + \frac{1}{2}\eta(t - 2a) - \frac{1}{2}\eta(t - 3a) \] \[ f(t) = \eta(t - a) - \frac{1}{2}\eta(t - 2a) - \frac{1}{2}\eta(t - 3a) \] 2. Для нахождения изображения \( F(p) \) воспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа и теоремой запаздывания. Известно, что изображение единичной функции: \[ \eta(t) \fallingdotseq \frac{1}{p} \] Согласно теореме запаздывания: \[ \eta(t - \tau) \fallingdotseq \frac{1}{p} e^{-p\tau} \] 3. Применим эти формулы к нашей функции \( f(t) \): \[ F(p) = \frac{1}{p} e^{-ap} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{p} e^{-2ap} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{p} e^{-3ap} \] Вынесем общий множитель \( \frac{1}{p} \) за скобки: \[ F(p) = \frac{1}{p} \left( e^{-ap} - \frac{1}{2} e^{-2ap} - \frac{1}{2} e^{-3ap} \right) \] Ответ: \[ F(p) = \frac{2e^{-ap} - e^{-2ap} - e^{-3ap}}{2p} \]