Решение задачи 6 вариант 10: Найти оригинал по заданному изображению

Задание 6. Найти оригинал по заданному изображению (вариант 6.10). В данном варианте представлены две функции. Решим их по очереди. Часть 1. Найти оригинал для \( F_1(p) = \frac{p+4}{p^2+4p+5} \) Решение: 1. Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат: \[ p^2 + 4p + 5 = (p^2 + 4p + 4) + 1 = (p+2)^2 + 1 \] 2. Теперь преобразуем числитель так, чтобы в нем выделилось выражение \( (p+2) \): \[ p + 4 = (p + 2) + 2 \] 3. Перепишем дробь: \[ F_1(p) = \frac{(p+2) + 2}{(p+2)^2 + 1} = \frac{p+2}{(p+2)^2 + 1} + 2 \cdot \frac{1}{(p+2)^2 + 1} \] 4. Используем таблицу основных изображений и теорему смещения: \[ \frac{p}{p^2 + \omega^2} \fallingdotseq \cos(\omega t), \quad \frac{\omega}{p^2 + \omega^2} \fallingdotseq \sin(\omega t) \] \[ F(p+a) \fallingdotseq e^{-at} f(t) \] В нашем случае \( a = 2 \), \( \omega = 1 \). Получаем: \[ \frac{p+2}{(p+2)^2 + 1} \fallingdotseq e^{-2t} \cos(t) \] \[ \frac{1}{(p+2)^2 + 1} \fallingdotseq e^{-2t} \sin(t) \] 5. Итоговый оригинал для первой функции: \[ f_1(t) = e^{-2t} \cos(t) + 2e^{-2t} \sin(t) = e^{-2t} (\cos t + 2 \sin t) \] Часть 2. Найти оригинал для \( F_2(p) = \frac{2p e^{-p}}{4p^2+4p-3} \) Решение: 1. Сначала найдем оригинал для функции без экспоненты: \( \Phi(p) = \frac{2p}{4p^2+4p-3} \). Разложим знаменатель на множители. Решим уравнение \( 4p^2+4p-3 = 0 \): \[ D = 16 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \] \[ p_{1,2} = \frac{-4 \pm 8}{8} \Rightarrow p_1 = \frac{1}{2}, p_2 = -\frac{3}{2} \] Следовательно, \( 4p^2+4p-3 = 4(p - 1/2)(p + 3/2) = (2p-1)(2p+3) \). 2. Разложим дробь на простейшие: \[ \frac{2p}{(2p-1)(2p+3)} = \frac{A}{2p-1} + \frac{B}{2p+3} \] \[ 2p = A(2p+3) + B(2p-1) \] При \( p = 1/2 \): \( 1 = A(1+3) \Rightarrow A = 1/4 \). При \( p = -3/2 \): \( -3 = B(-3-1) \Rightarrow B = 3/4 \). 3. Получаем: \[ \Phi(p) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2p-1} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2p+3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{p-1/2} + \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{p+3/2} \] 4. Находим оригинал \( \phi(t) \): \[ \phi(t) = \frac{1}{8} e^{\frac{1}{2}t} + \frac{3}{8} e^{-\frac{3}{2}t} \] 5. Применим теорему запаздывания для множителя \( e^{-p} \) (здесь \( \tau = 1 \)): \[ F_2(p) = \Phi(p) e^{-p} \fallingdotseq \phi(t-1) \eta(t-1) \] \[ f_2(t) = \left( \frac{1}{8} e^{\frac{1}{2}(t-1)} + \frac{3}{8} e^{-\frac{3}{2}(t-1)} \right) \eta(t-1) \] Ответ: \[ f_1(t) = e^{-2t} (\cos t + 2 \sin t) \] \[ f_2(t) = \frac{1}{8} \left( e^{\frac{t-1}{2}} + 3e^{-\frac{3(t-1)}{2}} \right) \eta(t-1) \]