Решение: Реши задачу: Правильно решите пожалуйста

Задание 6. Доказать равносильность формул \(\overline{x \leftrightarrow y}\) и \(\bar{x} \leftrightarrow y\). Для доказательства составим таблицу истинности: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & y & x \leftrightarrow y & \overline{x \leftrightarrow y} & \bar{x} & \bar{x} \leftrightarrow y \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \] Значения в столбцах \(\overline{x \leftrightarrow y}\) и \(\bar{x} \leftrightarrow y\) совпадают при всех наборах переменных. Следовательно, формулы равносильны. Задание 7. Найти СДНФ и СКНФ для формулы \(f = x \vee y \to \overline{y \wedge z}\). 1) Упростим формулу, используя закон \(A \to B = \bar{A} \vee B\) и закон де Моргана: \[f = \overline{x \vee y} \vee (\bar{y} \vee \bar{z}) = (\bar{x} \wedge \bar{y}) \vee \bar{y} \vee \bar{z}\] По закону поглощения \((\bar{x} \wedge \bar{y}) \vee \bar{y} = \bar{y}\), тогда: \[f = \bar{y} \vee \bar{z}\] 2) Составим таблицу истинности: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & y & z & f \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 0 \\ \hline 1 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 0 & 1 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline \end{array} \] 3) СДНФ (по строкам, где \(f=1\)): \[СДНФ = (\bar{x}\bar{y}\bar{z}) \vee (\bar{x}\bar{y}z) \vee (\bar{x}y\bar{z}) \vee (x\bar{y}\bar{z}) \vee (x\bar{y}z) \vee (xy\bar{z})\] 4) СКНФ (по строкам, где \(f=0\)): \[СКНФ = (x \vee \bar{y} \vee \bar{z}) \wedge (\bar{x} \vee \bar{y} \vee \bar{z})\] Задание 8. Найти область истинности предиката \(\frac{x^5 - 16x}{x^2 + 3x - 10} \le 0\). 1) Разложим числитель на множители: \[x^5 - 16x = x(x^4 - 16) = x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\] 2) Разложим знаменатель на множители: \[x^2 + 3x - 10 = (x + 5)(x - 2)\] 3) Запишем неравенство: \[\frac{x(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)}{(x + 5)(x - 2)} \le 0\] При условии \(x \ne 2\), сокращаем на \((x - 2)\). Так как \(x^2 + 4 > 0\) всегда, оно не влияет на знак: \[\frac{x(x + 2)}{x + 5} \le 0, \quad x \ne 2\] 4) Методом интервалов для точек \(-5, -2, 0\): - На интервале \((-\infty; -5)\): знак "минус" (подходит). - На интервале \((-5; -2]\): знак "плюс". - На интервале \([-2; 0]\): знак "минус" (подходит). - На интервале \([0; +\infty)\): знак "плюс". Исключаем точку \(x = 2\). Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup [-2; 0]\). Задание 9. Привести к ПНФ формулу \(A \equiv \forall x (A(x) \to \exists y B(y))\) и найти её отрицание. 1) Преобразование в ПНФ: Используем правило выноса квантора из-под импликации. Так как \(y\) не входит в \(A(x)\), а \(x\) не входит в \(B(y)\): \[A \equiv \forall x (\neg A(x) \vee \exists y B(y))\] \[A \equiv \forall x \exists y (\neg A(x) \vee B(y))\] Или в исходных связках: \[A \equiv \forall x \exists y (A(x) \to B(y))\] 2) Отрицание формулы: \[\neg A \equiv \neg (\forall x \exists y (A(x) \to B(y)))\] По правилам отрицания кванторов и импликации (\(\neg(P \to Q) \equiv P \wedge \neg Q\)): \[\neg A \equiv \exists x \forall y \neg (A(x) \to B(y))\] \[\neg A \equiv \exists x \forall y (A(x) \wedge \neg B(y))\]