Решение задачи №2: Определение вертикальных напряжений в грунте

Задача №2 Горизонтальная поверхность массива грунта по прямоугольным плитам с размерами в плане \(a_1 \times b_1\) и \(a_2 \times b_2\) нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью \(P_1\) и \(P_2\). Определить величины вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) от совместного действия внешних нагрузок в точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из точек \(M_1, M_2, M_3\) на плите №1. Расстояние между осями плит нагружения \(L\). Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1,0, 2,0, 4,0, 6,0 м. По вычисленным напряжениям построить эпюру распределения \(\sigma_z\). Схема к расчету представлена на рис. 3. Исходные данные: | Вариант | \(a_1\), м | \(b_1\), м | \(a_2\), м | \(b_2\), м | \(P_1\), МПа | \(P_2\), МПа | \(L\), м | Расчетная вертикаль | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | 8 | 2,5 | 2,1 | 4,0 | 2,4 | 0,31 | 0,41 | 3,4 | \(M_2\) | Рисунок 3 – Схема к расчету (На рисунке изображены две прямоугольные плиты, нагруженные равномерно распределенной нагрузкой. Первая плита имеет размеры \(a_1 \times b_1\) и нагрузку \(P_1\). Вторая плита имеет размеры \(a_2 \times b_2\) и нагрузку \(P_2\). Расстояние между осями плит обозначено \(L\). На первой плите указаны точки \(M_1, M_2, M_3\). Точка \(M_2\) расположена в центре плиты.) Решение Распределение по глубине вертикальных составляющих напряжений \(\sigma_z\) в любой точке массива грунта от действия равномерно распределенной нагрузки в пределах или за пределами плит нагружения может быть определено по методу угловых точек по формуле: \[ \sigma_{zc} = \frac{k_c \cdot p}{4} \] где \(k_c\) — коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон прямоугольной площади загружения \(a/b\) (а — длинная ее сторона, b — ее ширина) и отношения \(z/b\) (z — глубина, на которой определяется напряжение \(\sigma_{zc}\)); \(p\) — интенсивность равномерно распределенной нагрузки. Если рассматриваемая вертикаль проходит через центр тяжести прямоугольника, то вертикальные напряжения определяются по формуле \[ \sigma_{zc} = k \cdot p \] где \(k\) — коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон прямоугольной площади загружения \(a/b\) (а — длинная ее сторона, b — ее ширина) и отношения \(2z/b\) (z — глубина, на которой определяется напряжение \(\sigma_{zc}\)). Определяется вертикальное напряжение сначала для фундамента Ф1 в точке \(M_2\), а затем в этой же точке для влияющего фундамента Ф2. Точка \(M_2\) расположена на центре тяжести прямоугольника, поэтому вертикальное напряжение определяется по формуле \[ \sigma_{zc} = k \cdot p_1 \] Для определения коэффициентов \(k\) и \(k_c\) используются таблицы или графики, которые обычно приводятся в учебниках по механике грунтов. В данном решении мы будем использовать значения из таблиц. Исходные данные для варианта 8: \(a_1 = 2,5\) м, \(b_1 = 2,1\) м, \(P_1 = 0,31\) МПа \(a_2 = 4,0\) м, \(b_2 = 2,4\) м, \(P_2 = 0,41\) МПа \(L = 3,4\) м Расчетная вертикаль: \(M_2\) Точка \(M_2\) находится в центре тяжести плиты 1. Глубины \(z\): 1,0 м, 2,0 м, 4,0 м, 6,0 м. Расчет напряжений от плиты 1 (\(P_1\)) в точке \(M_2\): Для плиты 1: \(a_1 = 2,5\) м, \(b_1 = 2,1\) м. Отношение сторон \(a_1/b_1 = 2,5 / 2,1 \approx 1,19\). Для каждой глубины \(z\) рассчитаем отношение \(2z/b_1\): 1. При \(z = 1,0\) м: \(2z/b_1 = (2 \cdot 1,0) / 2,1 \approx 0,95\). По таблице для \(a_1/b_1 = 1,19\) и \(2z/b_1 = 0,95\) находим коэффициент \(k_1\). (Предположим, что по интерполяции \(k_1 \approx 0,45\)). \(\sigma_{z1} = k_1 \cdot P_1 = 0,45 \cdot 0,31 \text{ МПа} = 0,1395 \text{ МПа}\). 2. При \(z = 2,0\) м: \(2z/b_1 = (2 \cdot 2,0) / 2,1 \approx 1,90\). По таблице для \(a_1/b_1 = 1,19\) и \(2z/b_1 = 1,90\) находим коэффициент \(k_1\). (Предположим, что по интерполяции \(k_1 \approx 0,28\)). \(\sigma_{z1} = k_1 \cdot P_1 = 0,28 \cdot 0,31 \text{ МПа} = 0,0868 \text{ МПа}\). 3. При \(z = 4,0\) м: \(2z/b_1 = (2 \cdot 4,0) / 2,1 \approx 3,81\). По таблице для \(a_1/b_1 = 1,19\) и \(2z/b_1 = 3,81\) находим коэффициент \(k_1\). (Предположим, что по интерполяции \(k_1 \approx 0,15\)). \(\sigma_{z1} = k_1 \cdot P_1 = 0,15 \cdot 0,31 \text{ МПа} = 0,0465 \text{ МПа}\). 4. При \(z = 6,0\) м: \(2z/b_1 = (2 \cdot 6,0) / 2,1 \approx 5,71\). По таблице для \(a_1/b_1 = 1,19\) и \(2z/b_1 = 5,71\) находим коэффициент \(k_1\). (Предположим, что по интерполяции \(k_1 \approx 0,09\)). \(\sigma_{z1} = k_1 \cdot P_1 = 0,09 \cdot 0,31 \text{ МПа} = 0,0279 \text{ МПа}\). Расчет напряжений от плиты 2 (\(P_2\)) в точке \(M_2\): Точка \(M_2\) находится за пределами плиты 2. Для расчета напряжений от плиты 2 в точке \(M_2\) используем метод угловых точек. Плита 2 имеет размеры \(a_2 = 4,0\) м, \(b_2 = 2,4\) м. Расстояние от центра плиты 1 до центра плиты 2 равно \(L = 3,4\) м. Точка \(M_2\) находится в центре плиты 1. Расстояние от края плиты 1 до края плиты 2: Край плиты 1 находится на расстоянии \(b_1/2 = 2,1/2 = 1,05\) м от \(M_2\). Край плиты 2 находится на расстоянии \(b_2/2 = 2,4/2 = 1,2\) м от центра плиты 2. Расстояние от \(M_2\) до ближайшего края плиты 2 по оси \(x\) (вдоль \(L\)): \(L - b_1/2 - b_2/2 = 3,4 - 1,05 - 1,2 = 1,15\) м. Расстояние от \(M_2\) до дальнего края плиты 2 по оси \(x\): \(L + b_1/2 - b_2/2 = 3,4 + 1,05 - 1,2 = 3,25\) м. Расстояние от \(M_2\) до ближайшего края плиты 2 по оси \(y\) (перпендикулярно \(L\)): \(0\). Расстояние от \(M_2\) до дальнего края плиты 2 по оси \(y\): \(b_2 = 2,4\) м. Для применения метода угловых точек, плиту 2 разбиваем на 4 прямоугольника, для которых точка \(M_2\) является угловой. Пусть начало координат находится в точке \(M_2\). Плита 2 расположена от \(x_1 = 1,15\) м до \(x_2 = 1,15 + 4,0 = 5,15\) м (или от \(x_1 = L - b_1/2 - a_2/2\) до \(x_2 = L - b_1/2 + a_2/2\), если \(a_2\) вдоль \(L\)). По схеме видно, что \(a_2\) и \(b_2\) ориентированы так же, как \(a_1\) и \(b_1\). Расстояние от \(M_2\) до центра плиты 2 по оси \(x\) равно \(L = 3,4\) м. Расстояние от \(M_2\) до центра плиты 2 по оси \(y\) равно \(0\). Для расчета напряжений в точке \(M_2\) от плиты 2, которая находится на расстоянии \(L\) от \(M_2\), мы можем использовать принцип суперпозиции. Рассмотрим прямоугольник, образованный плитой 2. Точка \(M_2\) находится вне этого прямоугольника. Мы можем представить напряжение в \(M_2\) как сумму напряжений от четырех прямоугольников, углом которых является \(M_2\). Пусть \(x\) - расстояние от \(M_2\) до ближайшей стороны плиты 2 по оси \(x\), \(y\) - расстояние от \(M_2\) до ближайшей стороны плиты 2 по оси \(y\). В данном случае, \(M_2\) находится на оси симметрии плиты 2 по ширине \(b_2\). Расстояние от \(M_2\) до ближайшего края плиты 2 по оси \(x\): \(x_A = L - a_1/2 - a_2/2 = 3,4 - 2,5/2 - 4,0/2 = 3,4 - 1,25 - 2,0 = 0,15\) м. Расстояние от \(M_2\) до дальнего края плиты 2 по оси \(x\): \(x_B = L - a_1/2 + a_2/2 = 3,4 - 1,25 + 2,0 = 4,15\) м. Расстояние от \(M_2\) до ближайшего края плиты 2 по оси \(y\): \(y_A = b_2/2 - b_1/2 = 2,4/2 - 2,1/2 = 1,2 - 1,05 = 0,15\) м. Расстояние от \(M_2\) до дальнего края плиты 2 по оси \(y\): \(y_B = b_2/2 + b_1/2 = 1,2 + 1,05 = 2,25\) м. Для удобства, представим плиту 2 как разность двух больших прямоугольников и двух меньших. Или, что проще, используем метод угловых точек для прямоугольника, образованного плитой 2, относительно точки \(M_2\). Рассмотрим прямоугольник с вершинами \((x_1, y_1), (x_2, y_1), (x_1, y_2), (x_2, y_2)\). Точка \(M_2\) находится в \((0,0)\). Координаты углов плиты 2 относительно \(M_2\): Угол 1: \((L - a_2/2 - a_1/2, -b_2/2)\) Угол 2: \((L + a_2/2 - a_1/2, -b_2/2)\) Угол 3: \((L - a_2/2 - a_1/2, b_2/2)\) Угол 4: \((L + a_2/2 - a_1/2, b_2/2)\) Это не совсем так. Точка \(M_2\) находится в центре плиты 1. Ось \(x\) проходит через центры плит. Координаты центра плиты 1: \((0,0)\). Координаты центра плиты 2: \((L, 0) = (3,4, 0)\). Точка \(M_2\) находится в \((0,0)\). Для расчета напряжений от плиты 2 в точке \(M_2\), мы используем метод угловых точек. Плита 2 имеет размеры \(a_2 \times b_2\). Мы должны рассмотреть 4 прямоугольника, углом которых является точка \(M_2\). Прямоугольник 1: от \(x = L - a_2/2\) до \(x = L + a_2/2\), от \(y = -b_2/2\) до \(y = b_2/2\). Точка \(M_2\) находится в \((0,0)\). Мы можем представить напряжение от плиты 2 в точке \(M_2\) как: \(\sigma_{z2} = \sigma_{z(L+a_2/2, b_2/2)} - \sigma_{z(L-a_2/2, b_2/2)} - \sigma_{z(L+a_2/2, -b_2/2)} + \sigma_{z(L-a_2/2, -b_2/2)}\) Это неверно. Правильно: \(\sigma_{z2} = \sigma_{z(x_2, y_2)} - \sigma_{z(x_1, y_2)} - \sigma_{z(x_2, y_1)} + \sigma_{z(x_1, y_1)}\) где \(x_1, x_2, y_1, y_2\) - координаты углов плиты относительно точки \(M_2\). В нашем случае, точка \(M_2\) находится на оси симметрии плиты 2 по ширине \(b_2\). Поэтому, мы можем рассмотреть только половину плиты 2 и умножить результат на 2. Или, что проще, использовать формулу для прямоугольника, когда точка находится на продолжении одной из сторон. Рассмотрим прямоугольник с размерами \(A \times B\). Точка \(M\) находится на расстоянии \(x\) от одной стороны и \(y\) от другой. В нашем случае, точка \(M_2\) находится на расстоянии \(L\) от центра плиты 2. Расстояние от \(M_2\) до ближайшего края плиты 2 по оси \(x\): \(x_1 = L - a_2/2 = 3,4 - 4,0/2 = 3,4 - 2,0 = 1,4\) м. Расстояние от \(M_2\) до дальнего края плиты 2 по оси \(x\): \(x_2 = L + a_2/2 = 3,4 + 2,0 = 5,4\) м. Расстояние от \(M_2\) до ближайшего края плиты 2 по оси \(y\): \(y_1 = -b_2/2 = -2,4/2 = -1,2\) м. Расстояние от \(M_2\) до дальнего края плиты 2 по оси \(y\): \(y_2 = b_2/2 = 2,4/2 = 1,2\) м. Тогда напряжение от плиты 2 в точке \(M_2\) будет: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot (k_c(x_2, y_2) - k_c(x_1, y_2) - k_c(x_2, y_1) + k_c(x_1, y_1))\) где \(k_c(x,y)\) - коэффициент для прямоугольника с размерами \(x \times y\). В данном случае, \(x\) и \(y\) - это расстояния от угловой точки до сторон прямоугольника. Для каждого прямоугольника, образованного углом \(M_2\), мы должны определить \(a/b\) и \(z/b\). Пусть \(a\) - большая сторона, \(b\) - меньшая сторона. Для прямоугольника с углами \((x_2, y_2)\) и \((0,0)\): Стороны: \(x_2 = 5,4\) м, \(y_2 = 1,2\) м. \(a = 5,4\), \(b = 1,2\). \(a/b = 5,4/1,2 = 4,5\). Для каждой глубины \(z\): 1. При \(z = 1,0\) м: \(z/b = 1,0/1,2 \approx 0,83\). По таблице для \(a/b = 4,5\) и \(z/b = 0,83\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,75\)). 2. При \(z = 2,0\) м: \(z/b = 2,0/1,2 \approx 1,67\). По таблице для \(a/b = 4,5\) и \(z/b = 1,67\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,55\)). 3. При \(z = 4,0\) м: \(z/b = 4,0/1,2 \approx 3,33\). По таблице для \(a/b = 4,5\) и \(z/b = 3,33\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,30\)). 4. При \(z = 6,0\) м: \(z/b = 6,0/1,2 \approx 5,00\). По таблице для \(a/b = 4,5\) и \(z/b = 5,00\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,20\)). Для прямоугольника с углами \((x_1, y_2)\) и \((0,0)\): Стороны: \(x_1 = 1,4\) м, \(y_2 = 1,2\) м. \(a = 1,4\), \(b = 1,2\). \(a/b = 1,4/1,2 \approx 1,17\). Для каждой глубины \(z\): 1. При \(z = 1,0\) м: \(z/b = 1,0/1,2 \approx 0,83\). По таблице для \(a/b = 1,17\) и \(z/b = 0,83\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,65\)). 2. При \(z = 2,0\) м: \(z/b = 2,0/1,2 \approx 1,67\). По таблице для \(a/b = 1,17\) и \(z/b = 1,67\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,40\)). 3. При \(z = 4,0\) м: \(z/b = 4,0/1,2 \approx 3,33\). По таблице для \(a/b = 1,17\) и \(z/b = 3,33\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,20\)). 4. При \(z = 6,0\) м: \(z/b = 6,0/1,2 \approx 5,00\). По таблице для \(a/b = 1,17\) и \(z/b = 5,00\) находим \(k_c\). (Предположим, \(k_c \approx 0,12\)). Для прямоугольника с углами \((x_2, y_1)\) и \((0,0)\): Стороны: \(x_2 = 5,4\) м, \(y_1 = 1,2\) м. (Так как \(y_1\) отрицательное, берем абсолютное значение). \(a = 5,4\), \(b = 1,2\). \(a/b = 5,4/1,2 = 4,5\). Значения \(k_c\) будут такими же, как для \((x_2, y_2)\). Для прямоугольника с углами \((x_1, y_1)\) и \((0,0)\): Стороны: \(x_1 = 1,4\) м, \(y_1 = 1,2\) м. \(a = 1,4\), \(b = 1,2\). \(a/b = 1,4/1,2 \approx 1,17\). Значения \(k_c\) будут такими же, как для \((x_1, y_2)\). Теперь рассчитаем \(\sigma_{z2}\) для каждой глубины: 1. При \(z = 1,0\) м: \(k_c(x_2, y_2) = 0,75\) \(k_c(x_1, y_2) = 0,65\) \(k_c(x_2, y_1) = 0,75\) \(k_c(x_1, y_1) = 0,65\) \(\sigma_{z2} = \frac{0,41}{4} \cdot (0,75 - 0,65 - 0,75 + 0,65) = \frac{0,41}{4} \cdot 0 = 0 \text{ МПа}\). Это неверно. Метод угловых точек применяется для определения напряжения в углу прямоугольника. Если точка находится вне прямоугольника, то используется принцип суперпозиции. Напряжение в точке \(M_2\) от плиты 2: \(\sigma_{z2} = \sigma_{z(A)} - \sigma_{z(B)} - \sigma_{z(C)} + \sigma_{z(D)}\) где \(A, B, C, D\) - это углы, образованные точкой \(M_2\) и сторонами плиты 2. Пусть \(M_2\) - начало координат. Плита 2 имеет углы: \(P_{2,1} = (L - a_2/2, -b_2/2) = (1,4, -1,2)\) \(P_{2,2} = (L + a_2/2, -b_2/2) = (5,4, -1,2)\) \(P_{2,3} = (L - a_2/2, b_2/2) = (1,4, 1,2)\) \(P_{2,4} = (L + a_2/2, b_2/2) = (5,4, 1,2)\) Напряжение в \(M_2\) от плиты 2: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(x_2, y_2) - k_c(x_1, y_2) - k_c(x_2, y_1) + k_c(x_1, y_1)]\) где \(x_1 = 1,4\), \(x_2 = 5,4\), \(y_1 = 1,2\), \(y_2 = 1,2\). Это неверно, так как \(y_1\) и \(y_2\) должны быть разными. Правильно: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(x_2, y_2) - k_c(x_1, y_2) - k_c(x_2, y_1) + k_c(x_1, y_1)]\) где \(x_1 = L - a_2/2\), \(x_2 = L + a_2/2\), \(y_1 = b_2/2\), \(y_2 = b_2/2\). Это неверно. Давайте пересмотрим схему. Точка \(M_2\) находится в центре плиты 1. Плита 1: \(a_1 = 2,5\), \(b_1 = 2,1\). Центр \((0,0)\). Плита 2: \(a_2 = 4,0\), \(b_2 = 2,4\). Центр \((L, 0) = (3,4, 0)\). Точка \(M_2\) находится в \((0,0)\). Для расчета напряжения от плиты 2 в точке \(M_2\), мы должны рассмотреть 4 прямоугольника, углом которых является \(M_2\). Прямоугольник 1: от \((L - a_2/2, -b_2/2)\) до \((L + a_2/2, b_2/2)\). Координаты углов плиты 2 относительно \(M_2\): Левый нижний: \((3,4 - 4,0/2, -2,4/2) = (1,4, -1,2)\) Правый нижний: \((3,4 + 4,0/2, -2,4/2) = (5,4, -1,2)\) Левый верхний: \((3,4 - 4,0/2, 2,4/2) = (1,4, 1,2)\) Правый верхний: \((3,4 + 4,0/2, 2,4/2) = (5,4, 1,2)\) Напряжение в \(M_2\) от плиты 2: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(x_R, y_T) - k_c(x_L, y_T) - k_c(x_R, y_B) + k_c(x_L, y_B)]\) где \(x_L = 1,4\), \(x_R = 5,4\), \(y_B = 1,2\), \(y_T = 1,2\). Это неверно. \(y_B\) и \(y_T\) должны быть разными. Правильно: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(x_R, y_T) - k_c(x_L, y_T) - k_c(x_R, y_B) + k_c(x_L, y_B)]\) где \(x_L = 1,4\), \(x_R = 5,4\), \(y_B = 1,2\), \(y_T = 1,2\). Это неверно. Давайте используем более простой подход. Напряжение в точке \(M_2\) от плиты 2. Плита 2 имеет размеры \(a_2 \times b_2\). Точка \(M_2\) находится на расстоянии \(x_0 = L = 3,4\) м от центра плиты 2 по оси \(x\). Точка \(M_2\) находится на расстоянии \(y_0 = 0\) м от центра плиты 2 по оси \(y\). Для расчета напряжения в точке, находящейся вне прямоугольника, можно использовать метод угловых точек. Рассмотрим прямоугольник \(A_1\) с углом в \(M_2\) и размерами \((L + a_2/2) \times (b_2/2)\). Рассмотрим прямоугольник \(A_2\) с углом в \(M_2\) и размерами \((L - a_2/2) \times (b_2/2)\). Рассмотрим прямоугольник \(A_3\) с углом в \(M_2\) и размерами \((L + a_2/2) \times (b_2/2)\). Рассмотрим прямоугольник \(A_4\) с углом в \(M_2\) и размерами \((L - a_2/2) \times (b_2/2)\). Напряжение от плиты 2 в точке \(M_2\) будет: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(L+a_2/2, b_2/2) - k_c(L-a_2/2, b_2/2) + k_c(L+a_2/2, b_2/2) - k_c(L-a_2/2, b_2/2)]\) Это неверно. Правильная формула для точки вне прямоугольника: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(x_2, y_2) - k_c(x_1, y_2) - k_c(x_2, y_1) + k_c(x_1, y_1)]\) где \(x_1 = L - a_2/2 = 1,4\), \(x_2 = L + a_2/2 = 5,4\). \(y_1 = b_2/2 = 1,2\), \(y_2 = b_2/2 = 1,2\). Это неверно. Давайте рассмотрим прямоугольник, образованный плитой 2. Точка \(M_2\) находится в \((0,0)\). Плита 2 занимает область от \(x = 1,4\) до \(x = 5,4\) и от \(y = -1,2\) до \(y = 1,2\). Напряжение в \(M_2\) от плиты 2: \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(5,4, 1,2) - k_c(1,4, 1,2) - k_c(5,4, -1,2) + k_c(1,4, -1,2)]\) Так как \(k_c(x,y)\) зависит от абсолютных значений \(x\) и \(y\), то \(k_c(x, -y) = k_c(x, y)\). \(\sigma_{z2} = \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(5,4, 1,2) - k_c(1,4, 1,2) - k_c(5,4, 1,2) + k_c(1,4, 1,2)] = 0\). Это означает, что если точка находится на оси симметрии, то напряжение равно 0. Это неверно. Давайте используем метод угловых точек для определения напряжения в точке \(M_2\) от плиты 2. Рассмотрим прямоугольник \(R_1\) с углом в \(M_2\) и размерами \((L+a_2/2) \times (b_2/2)\). Рассмотрим прямоугольник \(R_2\) с углом в \(M_2\) и размерами \((L-a_2/2) \times (b_2/2)\). Напряжение от плиты 2 в точке \(M_2\) будет: \(\sigma_{z2} = 2 \cdot \frac{P_2}{4} \cdot [k_c(L+a_2/2, b_2/2) - k_c(L-a_2/2, b_2/2)]\) где \(L+a_2/2 = 3,4 + 2,0 = 5,4\), \(L-a_2/2 = 3,4 - 2,0 = 1,4\), \(b_2/2 = 1,2\). Для каждого прямоугольника, образованного углом \(M_2\), мы должны определить \(a/b\) и \(z/b\). Прямоугольник 1: \(x = 5,4\), \(y = 1,2\). \(a = 5,4\), \(b = 1,2\). \(a/b = 4,5\). Прямоугольник 2: \(x = 1,4\), \(y = 1,2\). \(a = 1,4\), \(b = 1,2\). \(a/b = 1,17\). Для каждой глубины \(z\): 1. При \(z = 1,0\) м: \(z/b = 1,0/1,2 \approx 0,83\). Для \(a/b = 4,5\), \(z/b = 0,83 \Rightarrow k_c(5,4, 1,2) \approx 0,75\). Для \(a/b = 1,17\), \(z/b = 0,83 \Rightarrow k_c(1,4, 1,2) \approx 0,65\). \(\sigma_{z2} = \frac{0,41}{2} \cdot (0,75 - 0,65) = 0,205 \cdot 0,10 = 0,0205 \text{ МПа}\). 2. При \(z = 2,0\) м: \(z/b = 2,0/1,2 \approx 1,67\). Для \(a/b = 4,5\), \(z/b = 1,67 \Rightarrow k_c(5,4, 1,2) \approx 0,55\). Для \(a/b = 1,17\), \(z/b = 1,67 \Rightarrow k_c(1,4, 1,2) \approx 0,40\). \(\sigma_{z2} = \frac{0,41}{2} \cdot (0,55 - 0,40) = 0,205 \cdot 0,15 = 0,03075 \text{ МПа}\). 3. При \(z = 4,0\) м: \(z/b = 4,0/1,2 \approx 3,33\). Для \(a/b = 4,5\), \(z/b = 3,33 \Rightarrow k_c(5,4, 1,2) \approx 0,30\). Для \(a/b = 1,17\), \(z/b = 3,33 \Rightarrow k_c(1,4, 1,2) \approx 0,20\). \(\sigma_{z2} = \frac{0,41}{2} \cdot (0,30 - 0,20) = 0,205 \cdot 0,10 = 0,0205 \text{ МПа}\). 4. При \(z = 6,0\) м: \(z/b = 6,0/1,2 \approx 5,00\). Для \(a/b = 4,5\), \(z/b = 5,00 \Rightarrow k_c(5,4, 1,2) \approx 0,20\). Для \(a/b = 1,17\), \(z/b = 5,00 \Rightarrow k_c(1,4, 1,2) \approx 0,12\). \(\sigma_{z2} = \frac{0,41}{2} \cdot (0,20 - 0,12) = 0,205 \cdot 0,08 = 0,0164 \text{ МПа}\). Общее напряжение \(\sigma_z = \sigma_{z1} + \sigma_{z2}\). Таблица результатов: | \(z\), м | \(\sigma_{z1}\), МПа | \(\sigma_{z2}\), МПа | \(\sigma_z\), МПа | |---|---|---|---| | 1,0 | 0,1395 | 0,0205 | 0,1600 | | 2,0 | 0,0868 | 0,03075 | 0,11755 | | 4,0 | 0,0465 | 0,0205 | 0,0670 | | 6,0 | 0,0279 | 0,0164 | 0,0443 | Построение эпюры распределения \(\sigma_z\). Эпюра будет представлять собой график зависимости \(\sigma_z\) от глубины \(z\). По оси \(x\) откладываем значения \(\sigma_z\), по оси \(y\) — значения \(z\). На поверхности (\(z=0\)) напряжение будет равно \(P_1 = 0,31\) МПа (от плиты 1) + некоторое значение от плиты 2. Однако, метод угловых точек и метод для центра тяжести дают напряжения на глубине \(z > 0\). На поверхности (\(z=0\)) напряжение под плитой 1 в центре равно \(P_1 = 0,31\) МПа. Напряжение от плиты 2 на поверхности в точке \(M_2\) будет равно 0, так как \(M_2\) находится вне плиты 2. Поэтому, на поверхности \(\sigma_z = P_1 = 0,31\) МПа. График: Ось Y: Глубина \(z\) (м) Ось X: Напряжение \(\sigma_z\) (МПа) Точки для построения эпюры: (0,31; 0) - это напряжение на поверхности под центром плиты 1. (0,1600; 1,0) (0,11755; 2,0) (0,0670; 4,0) (0,0443; 6,0) Эпюра будет иметь вид кривой, убывающей с глубиной. Примечание: Значения коэффициентов \(k\) и \(k_c\) взяты предположительно, так как таблицы не предоставлены. Для точного решения необходимо использовать соответствующие таблицы или графики из учебных пособий по механике грунтов.