Решение квадратного уравнения 4z^2 + 6z + 3 = 0

Задача № 10 Дано квадратное уравнение: \[ 4z^2 + 6z + 3 = 0 \] где \( a = 4, b = 6, c = 3 \). 1. Нахождение корней уравнения Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 36 - 48 = -12 \] Так как \( D < 0 \), корни являются комплексными. Извлечем корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = 2\sqrt{3}i \] Находим корни по формуле: \[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}i}{8} \] Разделим почленно на 2: \[ z_1 = -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i, \quad z_2 = -\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i \] 2. Разложение на множители Квадратный трехчлен раскладывается по формуле \( a(z - z_1)(z - z_2) \): \[ 4z^2 + 6z + 3 = 4 \left( z - \left( -\frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i \right) \right) \left( z - \left( -\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i \right) \right) \] \[ 4z^2 + 6z + 3 = 4 \left( z + \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}i \right) \left( z + \frac{3}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}i \right) \] 3. Изображение на комплексной плоскости Для построения отметим точки: \( z_1 \) имеет координаты \( (-0.75; 0.43) \) \( z_2 \) имеет координаты \( (-0.75; -0.43) \) Точки симметричны относительно действительной оси \( Re \). 4. Тригонометрическая и показательная формы Найдем модуль \( r \) и аргумент \( \varphi \): \[ r = |z_1| = |z_2| = \sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{12}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Для \( z_1 \) (2-я четверть): \[ \cos \varphi_1 = \frac{-3/4}{\sqrt{3}/2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \varphi_1 = \frac{\sqrt{3}/4}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \varphi_1 = \frac{5\pi}{6} \] Для \( z_2 \) (3-я четверть): \[ \varphi_2 = -\frac{5\pi}{6} \] Формы для \( z_1 \): Тригонометрическая: \( z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \cos \frac{5\pi}{6} + i \sin \frac{5\pi}{6} \right) \) Показательная: \( z_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{i \frac{5\pi}{6}} \) Формы для \( z_2 \): Тригонометрическая: \( z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \cos \left(-\frac{5\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{5\pi}{6}\right) \right) \) Показательная: \( z_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} e^{-i \frac{5\pi}{6}} \) 5. Вычисление \( z_1^2, z_2^2, \frac{z_2^3}{z_1} \) Используем показательную форму: \[ z_1^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 e^{i \frac{10\pi}{6}} = \frac{3}{4} e^{i \frac{5\pi}{3}} = \frac{3}{4} \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = \frac{3}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}i \] \[ z_2^2 = \overline{z_1^2} = \frac{3}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i \] \[ \frac{z_2^3}{z_1} = \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})^3 e^{-i \frac{15\pi}{6}}}{\frac{\sqrt{3}}{2} e^{i \frac{5\pi}{6}}} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 e^{i (-\frac{15\pi}{6} - \frac{5\pi}{6})} = \frac{3}{4} e^{-i \frac{20\pi}{6}} = \frac{3}{4} e^{-i \frac{10\pi}{3}} \] Приведем угол: \( -\frac{10\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi}{3} \) \[ \frac{z_2^3}{z_1} = \frac{3}{4} \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{3}{4} \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = -\frac{3}{8} + \frac{3\sqrt{3}}{8}i \]