Решение задачи: Нахождение пределов без правила Лопиталя

Задание № 16. Нахождение пределов без использования правила Лопиталя. а) \[ \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x - 1}{6x^2 + x - 2} \] Для нахождения предела при \( x \to \infty \) от отношения многочленов одинаковой степени, разделим числитель и знаменатель на старшую степень \( x^2 \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{5x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}{\frac{6x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x} - \frac{1}{x^2}}{6 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} \] Так как при \( x \to \infty \) величины \( \frac{5}{x}, \frac{1}{x^2}, \frac{1}{x}, \frac{2}{x^2} \) стремятся к нулю, получаем: \[ \frac{3 - 0 - 0}{6 + 0 - 0} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \] Ответ: \( \frac{1}{2} \). б) \[ \lim_{x \to -3} \frac{6 - x - x^2}{3x^3 + 8x^2 - 3x} \] При подстановке \( x = -3 \) получаем неопределенность \( \frac{0}{0} \). Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: \( -x^2 - x + 6 = -(x^2 + x - 6) = -(x + 3)(x - 2) \). Знаменатель: \( 3x^3 + 8x^2 - 3x = x(3x^2 + 8x - 3) \). Найдем корни уравнения \( 3x^2 + 8x - 3 = 0 \): \( D = 64 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 100 \). \( x = \frac{-8 \pm 10}{6} \), корни \( -3 \) и \( \frac{1}{3} \). Значит, \( 3x^2 + 8x - 3 = 3(x + 3)(x - \frac{1}{3}) = (x + 3)(3x - 1) \). Подставим в предел: \[ \lim_{x \to -3} \frac{-(x + 3)(x - 2)}{x(x + 3)(3x - 1)} = \lim_{x \to -3} \frac{-(x - 2)}{x(3x - 1)} \] Подставляем \( x = -3 \): \[ \frac{-(-3 - 2)}{-3(3(-3) - 1)} = \frac{5}{-3(-10)} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \] Ответ: \( \frac{1}{6} \). в) \[ \lim_{x \to 0} \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{\arcsin 6x}} \] Используем первый замечательный предел и эквивалентные бесконечно малые. При \( x \to 0 \) имеем \( \arcsin 6x \sim 6x \). Заменим функцию под корнем на эквивалентную: \[ \lim_{x \to 0} \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{6x}} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{6}\sqrt{x}} = \frac{3}{\sqrt{6}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе: \[ \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] Ответ: \( \frac{\sqrt{6}}{2} \). г) \[ \lim_{x \to 2} (5 - 2x)^{\frac{2}{x^2 - 4}} \] При \( x \to 2 \) основание стремится к \( 5 - 4 = 1 \), а показатель к \( \frac{2}{0} = \infty \). Это неопределенность \( 1^\infty \). Используем второй замечательный предел в форме \( \lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e \). Пусть \( x - 2 = t \), тогда \( x = t + 2 \). При \( x \to 2 \) имеем \( t \to 0 \). Основание: \( 5 - 2(t + 2) = 5 - 2t - 4 = 1 - 2t \). Показатель: \( \frac{2}{(t+2)^2 - 4} = \frac{2}{t^2 + 4t + 4 - 4} = \frac{2}{t(t + 4)} \). Предел принимает вид: \[ \lim_{t \to 0} (1 - 2t)^{\frac{2}{t(t + 4)}} = \lim_{t \to 0} \left( (1 + (-2t))^{\frac{1}{-2t}} \right)^{\frac{-2t \cdot 2}{t(t + 4)}} \] Внутренняя скобка стремится к \( e \). Вычислим предел показателя: \[ \lim_{t \to 0} \frac{-4t}{t(t + 4)} = \lim_{t \to 0} \frac{-4}{t + 4} = \frac{-4}{4} = -1 \] Следовательно, предел равен: \[ e^{-1} = \frac{1}{e} \] Ответ: \( \frac{1}{e} \).