Решение задачи: Найти пределы и точки разрыва функции

Исследование функции на непрерывность. Дана кусочно-заданная функция: \[ f(x) = \begin{cases} x^2/2, & x \le -2 \\ -1 - x, & -2 < x \le 0 \\ x^2 + 1, & x > 0 \end{cases} \] Функция определена на всей числовой прямой. Подозрительными на разрыв являются точки стыка интервалов: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 0 \). 1. Исследуем точку \( x_1 = -2 \): Находим односторонние пределы и значение функции в точке: Левосторонний предел: \[ \lim_{x \to -2-0} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{x^2}{2} = \frac{(-2)^2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] Правосторонний предел: \[ \lim_{x \to -2+0} f(x) = \lim_{x \to -2} (-1 - x) = -1 - (-2) = 1 \] Значение функции: \( f(-2) = \frac{(-2)^2}{2} = 2 \). Так как левосторонний и правосторонний пределы конечны, но не равны между собой (\( 2 \neq 1 \)), то в точке \( x = -2 \) наблюдается разрыв первого рода (скачок). Величина скачка: \( \Delta f = |1 - 2| = 1 \). 2. Исследуем точку \( x_2 = 0 \): Левосторонний предел: \[ \lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0} (-1 - x) = -1 - 0 = -1 \] Правосторонний предел: \[ \lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1 \] Значение функции: \( f(0) = -1 - 0 = -1 \). Так как пределы конечны и не равны (\( -1 \neq 1 \)), то в точке \( x = 0 \) также наблюдается разрыв первого рода (скачок). Величина скачка: \( \Delta f = |1 - (-1)| = 2 \). 3. Построение чертежа (описание для тетради): Для построения графика на координатной плоскости нужно изобразить три фрагмента: - Левее \( -2 \) (включая точку): парабола \( y = x^2/2 \). Отметьте точки \( (-4; 8), (-2; 2) \). Точка \( (-2; 2) \) закрашена. - От \( -2 \) до \( 0 \) (включая \( 0 \)): отрезок прямой \( y = -1 - x \). В точке \( x = -2 \) значение \( y = 1 \) (точка выколота), в точке \( x = 0 \) значение \( y = -1 \) (точка закрашена). - Правее \( 0 \): парабола \( y = x^2 + 1 \). В точке \( x = 0 \) значение \( y = 1 \) (точка выколота), далее точки \( (1; 2), (2; 5) \). Вывод: Функция имеет две точки разрыва первого рода: \( x = -2 \) и \( x = 0 \).