Решение задачи: Закон сохранения импульса

Дано: \(m_1 = 100\) г = \(0,1\) кг \(m_2 = 300\) г = \(0,3\) кг \(v_1 = 120\) см/с = \(1,2\) м/с \(v_2 = 0\) м/с \(\alpha = 30^\circ\) (угол отклонения первого тела) \(\varphi = 60^\circ\) (угол отклонения второго тела) Найти: \(u_2\) — ? Решение: Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения импульса в проекциях на оси координат. Направим ось \(Ox\) вдоль первоначального движения первого тела, а ось \(Oy\) перпендикулярно ей. Закон сохранения импульса в векторном виде: \[m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = m_1 \vec{u}_1 + m_2 \vec{u}_2\] Спроецируем уравнение на оси: На ось \(Ox\): \[m_1 v_1 = m_1 u_1 \cos(30^\circ) + m_2 u_2 \cos(60^\circ) \quad (1)\] На ось \(Oy\): \[0 = -m_1 u_1 \sin(30^\circ) + m_2 u_2 \sin(60^\circ) \quad (2)\] Из уравнения (2) выразим \(u_1\): \[m_1 u_1 \sin(30^\circ) = m_2 u_2 \sin(60^\circ)\] \[u_1 = \frac{m_2 u_2 \sin(60^\circ)}{m_1 \sin(30^\circ)}\] Подставим значения масс и тригонометрических функций (\(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 30^\circ = 0,5\)): \[u_1 = \frac{0,3 \cdot u_2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{0,1 \cdot 0,5} = \frac{0,3 \cdot u_2 \cdot 0,866}{0,05} \approx 5,196 \cdot u_2\] Теперь подставим выражение для \(u_1\) в уравнение (1): \[m_1 v_1 = m_1 \cdot ( \frac{m_2 u_2 \sin 60^\circ}{m_1 \sin 30^\circ} ) \cdot \cos 30^\circ + m_2 u_2 \cos 60^\circ\] \[m_1 v_1 = m_2 u_2 \frac{\sin 60^\circ \cos 30^\circ}{\sin 30^\circ} + m_2 u_2 \cos 60^\circ\] \[m_1 v_1 = m_2 u_2 (\text{ctg } 30^\circ \cdot \sin 60^\circ + \cos 60^\circ)\] Подставим численные значения: \[0,1 \cdot 1,2 = 0,3 \cdot u_2 \cdot (\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0,5)\] \[0,12 = 0,3 \cdot u_2 \cdot (1,5 + 0,5)\] \[0,12 = 0,3 \cdot u_2 \cdot 2\] \[0,12 = 0,6 \cdot u_2\] Вычисляем \(u_2\): \[u_2 = \frac{0,12}{0,6} = 0,2 \text{ м/с}\] Переведем обратно в см/с: \[u_2 = 20 \text{ см/с}\] Проверим применимость закона сохранения механической энергии (условие упругого удара): Кинетическая энергия до удара: \[E_1 = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{0,1 \cdot 1,2^2}{2} = 0,072 \text{ Дж}\] Найдем \(u_1\): \[u_1 = 5,196 \cdot 0,2 \approx 1,039 \text{ м/с}\] Кинетическая энергия после удара: \[E_2 = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2} = \frac{0,1 \cdot 1,039^2}{2} + \frac{0,3 \cdot 0,2^2}{2} \approx 0,054 + 0,006 = 0,06 \text{ Дж}\] Так как \(E_1 > E_2\), удар является неупругим, часть энергии перешла во внутреннюю энергию тел. Ответ: \(u_2 = 20\) см/с.