Решение: Приведение уравнения в частных производных к каноническому виду

Задача: Привести к каноническому виду уравнение в частных производных второго порядка: \[ u_{xx} + 4u_{xy} + 5u_{yy} - 2u_x - 2u_y + u = 0 \] Решение: 1. Определим коэффициенты при старших производных: \[ a_{11} = 1, \quad a_{12} = 2, \quad a_{22} = 5 \] (Заметим, что коэффициент при \( u_{xy} \) равен \( 2a_{12} \), поэтому \( 2a_{12} = 4 \Rightarrow a_{12} = 2 \)). 2. Составим дискриминант уравнения: \[ D = a_{12}^2 - a_{11}a_{22} = 2^2 - 1 \cdot 5 = 4 - 5 = -1 \] Так как \( D < 0 \), уравнение относится к эллиптическому типу. 3. Составим уравнение характеристик: \[ a_{11}(dy)^2 - 2a_{12}dxdy + a_{22}(dx)^2 = 0 \] \[ 1 \cdot (dy)^2 - 4dxdy + 5(dx)^2 = 0 \] Разделим на \( (dx)^2 \): \[ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 - 4\frac{dy}{dx} + 5 = 0 \] Решим квадратное уравнение относительно \( y' = \frac{dy}{dx} \): \[ D_k = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \] 4. Интегрируем полученные выражения: \[ dy = (2 \pm i)dx \Rightarrow y = (2 \pm i)x + C \] \[ y - 2x \mp ix = C \] Отсюда получаем комплексные характеристики: \( \phi(x, y) = y - 2x - ix \) и \( \psi(x, y) = y - 2x + ix \). 5. Введем новые вещественные переменные \( \xi \) и \( \eta \): \[ \xi = \text{Re}(\phi) = y - 2x \] \[ \eta = \text{Im}(\phi) = -x \] Для удобства вычислений можно взять \( \eta = x \). Итак: \[ \xi = y - 2x, \quad \eta = x \] 6. Вычислим производные функции \( u \) по старым переменным через новые: \[ u_x = u_{\xi}\xi_x + u_{\eta}\eta_x = -2u_{\xi} + u_{\eta} \] \[ u_y = u_{\xi}\xi_y + u_{\eta}\eta_y = u_{\xi} \] \[ u_{xx} = (-2\frac{\partial}{\partial \xi} + \frac{\partial}{\partial \eta})(-2u_{\xi} + u_{\eta}) = 4u_{\xi\xi} - 4u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} \] \[ u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(-2u_{\xi} + u_{\eta}) = -2u_{\xi\xi} + u_{\xi\eta} \] \[ u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(u_{\xi}) = u_{\xi\xi} \] 7. Подставим полученные выражения в исходное уравнение: \[ (4u_{\xi\xi} - 4u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta}) + 4(-2u_{\xi\xi} + u_{\xi\eta}) + 5(u_{\xi\xi}) - 2(-2u_{\xi} + u_{\eta}) - 2(u_{\xi}) + u = 0 \] Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ 4u_{\xi\xi} - 4u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} - 8u_{\xi\xi} + 4u_{\xi\eta} + 5u_{\xi\xi} + 4u_{\xi} - 2u_{\eta} - 2u_{\xi} + u = 0 \] \[ (4 - 8 + 5)u_{\xi\xi} + (-4 + 4)u_{\xi\eta} + u_{\eta\eta} + (4 - 2)u_{\xi} - 2u_{\eta} + u = 0 \] \[ u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + 2u_{\xi} - 2u_{\eta} + u = 0 \] Ответ: Канонический вид уравнения: \[ u_{\xi\xi} + u_{\eta\eta} + 2u_{\xi} - 2u_{\eta} + u = 0 \] где \( \xi = y - 2x \), \( \eta = x \).