Задача:
Единичная полуокружность задается уравнением \( x^2 + y^2 = 1 \) при условии \( y \ge 0 \). Отметьте точки, которые лежат на единичной полуокружности.
Если вариантов ответа несколько, то нужно указать все варианты.
Решение:
Чтобы точка лежала на единичной полуокружности, она должна удовлетворять двум условиям:
1. Уравнению окружности: \( x^2 + y^2 = 1 \).
2. Условию для \( y \): \( y \ge 0 \).
Проверим каждую из предложенных точек:
1. Точка \( Z(0; -2) \)
Проверим условие \( y \ge 0 \):
\( -2 \ge 0 \) — это неверно.
Значит, точка \( Z \) не лежит на единичной полуокружности.
2. Точка \( S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
Проверим условие \( y \ge 0 \):
\( \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \), что больше или равно \( 0 \). Условие выполняется.
Проверим уравнение \( x^2 + y^2 = 1 \):
\[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]Уравнение выполняется.
Значит, точка \( S \) лежит на единичной полуокружности.
3. Точка \( Y\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) \)
Проверим условие \( y \ge 0 \):
\( \frac{1}{2} = 0.5 \), что больше или равно \( 0 \). Условие выполняется.
Проверим уравнение \( x^2 + y^2 = 1 \):
\[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]Уравнение выполняется.
Значит, точка \( Y \) лежит на единичной полуокружности.
4. Точка \( L(0; 1) \)
Проверим условие \( y \ge 0 \):
\( 1 \ge 0 \). Условие выполняется.
Проверим уравнение \( x^2 + y^2 = 1 \):
\[ 0^2 + 1^2 = 0 + 1 = 1 \]
Уравнение выполняется.
Значит, точка \( L \) лежит на единичной полуокружности.
Вывод:
Точки \( S \), \( Y \) и \( L \) удовлетворяют обоим условиям и, следовательно, лежат на единичной полуокружности.
Ответ:
Точки, которые лежат на единичной полуокружности: \( S\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \), \( Y\left(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right) \), \( L(0; 1) \).