Задача:
Чему равен радиус окружности, описанной около треугольника \( \triangle ABC \), если \( AC = 20\sqrt{3} \), угол \( \angle ACB = 43^\circ \) и угол \( \angle BAC = 77^\circ \).
Введите целое число или десятичную дробь.
Решение:
1. Вспомним теорему синусов.
Для любого треугольника \( \triangle ABC \) со сторонами \( a, b, c \) и противолежащими углами \( A, B, C \) соответственно, справедливо соотношение:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]где \( R \) — радиус описанной окружности.
2. Определим известные величины.
Нам дана сторона \( AC = 20\sqrt{3} \).
Угол \( \angle ACB = 43^\circ \) (это угол \( C \)).
Угол \( \angle BAC = 77^\circ \) (это угол \( A \)).
3. Найдем угол, противолежащий стороне \( AC \).
Сторона \( AC \) лежит напротив угла \( B \). Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \).
\[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C \]
\[ \angle B = 180^\circ - 77^\circ - 43^\circ \]
\[ \angle B = 180^\circ - 120^\circ \]
\[ \angle B = 60^\circ \]
4. Применим теорему синусов для нахождения радиуса \( R \).
Мы знаем сторону \( AC \) и противолежащий ей угол \( \angle B \).
По теореме синусов:
\[ \frac{AC}{\sin B} = 2R \]Подставим известные значения:
\[ \frac{20\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = 2R \]5. Вспомним значение \( \sin 60^\circ \).
\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
6. Подставим значение синуса и вычислим \( R \).
\[ \frac{20\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]
\[ 20\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R \]
Сократим \( \sqrt{3} \):
\[ 20 \cdot 2 = 2R \]
\[ 40 = 2R \]
Разделим обе части на \( 2 \):
\[ R = \frac{40}{2} \]
\[ R = 20 \]
Ответ:
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен \( 20 \).