Решение задач с корнями: пошаговое объяснение

Вот решения для каждой задачи: 1. \[ \frac{\sqrt[3]{32 \cdot 54}}{4} \] Разложим числа под корнем на множители: \( 32 = 2^5 \) \( 54 = 2 \cdot 3^3 \) Тогда: \( 32 \cdot 54 = 2^5 \cdot 2 \cdot 3^3 = 2^6 \cdot 3^3 \) Извлечем кубический корень: \( \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^3} = \sqrt[3]{(2^2)^3 \cdot 3^3} = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12 \) Теперь подставим это значение в исходное выражение: \( \frac{12}{4} = 3 \) Ответ: 3 2. \[ \frac{\sqrt[4]{810} \cdot \sqrt[4]{810}}{\sqrt[4]{5 \cdot 20}} \] Используем свойство корней: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \) Числитель: \( \sqrt[4]{810} \cdot \sqrt[4]{810} = \sqrt[4]{810 \cdot 810} = \sqrt[4]{810^2} \) Также можно заметить, что \( \sqrt[4]{810} \cdot \sqrt[4]{810} = (\sqrt[4]{810})^2 = 810^{2/4} = 810^{1/2} = \sqrt{810} \) Знаменатель: \( \sqrt[4]{5 \cdot 20} = \sqrt[4]{100} \) Теперь выражение выглядит так: \( \frac{\sqrt{810}}{\sqrt[4]{100}} \) Разложим числа: \( 810 = 81 \cdot 10 = 3^4 \cdot 10 \) \( 100 = 10^2 \) Тогда: \( \sqrt{810} = \sqrt{81 \cdot 10} = 9\sqrt{10} \) \( \sqrt[4]{100} = \sqrt[4]{10^2} = 10^{2/4} = 10^{1/2} = \sqrt{10} \) Подставим эти значения: \( \frac{9\sqrt{10}}{\sqrt{10}} = 9 \) Ответ: 9 3. \[ \sqrt[5]{\frac{147 \cdot 24,5 \cdot 392}{84}} \] Сначала упростим выражение под корнем. Разложим числа на множители: \( 147 = 3 \cdot 49 = 3 \cdot 7^2 \) \( 24,5 = \frac{49}{2} \) \( 392 = 2 \cdot 196 = 2 \cdot 14^2 = 2 \cdot (2 \cdot 7)^2 = 2 \cdot 2^2 \cdot 7^2 = 2^3 \cdot 7^2 \) \( 84 = 4 \cdot 21 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \) Подставим эти разложения в дробь: \[ \frac{(3 \cdot 7^2) \cdot (\frac{49}{2}) \cdot (2^3 \cdot 7^2)}{2^2 \cdot 3 \cdot 7} \] \[ \frac{3 \cdot 7^2 \cdot \frac{7^2}{2} \cdot 2^3 \cdot 7^2}{2^2 \cdot 3 \cdot 7} \] Сократим \( 3 \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{7^2 \cdot \frac{7^2}{2} \cdot 2^3 \cdot 7^2}{2^2 \cdot 7} \] Сократим \( 7 \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{7^1 \cdot \frac{7^2}{2} \cdot 2^3 \cdot 7^2}{2^2} \] Перемножим степени \( 7 \): \( 7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^2 = 7^{1+2+2} = 7^5 \) Перемножим степени \( 2 \): \( \frac{2^3}{2 \cdot 2^2} = \frac{2^3}{2^3} = 1 \) Тогда выражение под корнем становится: \( \frac{7^5 \cdot 2^3}{2 \cdot 2^2} = \frac{7^5 \cdot 2^3}{2^3} = 7^5 \) Теперь извлечем корень пятой степени: \( \sqrt[5]{7^5} = 7 \) Ответ: 7