schoolГеометрия
verifiedРешено AI
Решение задачи: АМН + МНС = 180°
help_outlineУсловие задачи
Реши задачу: Прямая а пересекает стороны АВ и АС угла ВАС в точках М и Н, так что АМ=АН, докажите что сумма градусных мер углов АМН и МНС равна 180 градусов
lightbulbКраткий ответ
Сумма углов АМН и МНС равна 180 градусам, так как они смежные, а угол АМН равен углу АНМ в равнобедренном треугольнике АМН. Следовательно, АМН + МНС = 180°.
Подробное решение
Дано:
Угол ВАС.
Прямая а пересекает АВ в точке М, АС в точке Н.
АМ = АН.
Доказать:
Угол АМН + Угол МНС = 180 градусов.
Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник АМН. По условию АМ = АН, следовательно, треугольник АМН является равнобедренным с основанием МН.
2. По свойству равнобедренного треугольника углы при основании равны:
\[ \angle AMH = \angle AHM \]
3. Точки А, Н и С лежат на одной прямой (так как Н лежит на стороне АС). Следовательно, углы АНМ и МНС являются смежными.
4. По свойству смежных углов их сумма равна 180 градусов:
\[ \angle AHM + \angle MHC = 180^\circ \]
5. Так как в пункте 2 мы установили, что \( \angle AMH = \angle AHM \), произведем замену в равенстве из пункта 4. Вместо \( \angle AHM \) подставим \( \angle AMH \):
\[ \angle AMH + \angle MHC = 180^\circ \]
Что и требовалось доказать.