Прямая линия на плоскости: Виды уравнений

Тема: Прямая линия на плоскости. Виды уравнений прямой. Для удобного ведения записей в тетради основные виды уравнений прямой представлены ниже: 1. Общее уравнение прямой Любая прямая на плоскости может быть описана уравнением: \[ Ax + By + C = 0 \] где \( A \), \( B \) и \( C \) — некоторые числа, причем \( A \) и \( B \) не равны нулю одновременно. Вектор \( \vec{n} = (A; B) \) называется нормальным вектором (он перпендикулярен прямой). 2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Это наиболее часто используемый вид уравнения в школьном курсе: \[ y = kx + b \] где: \( k \) — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси \( Ox \) (\( k = \text{tg } \alpha \)); \( b \) — ордината точки пересечения прямой с осью \( Oy \). 3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Если прямая проходит через точки \( M_1(x_1; y_1) \) и \( M_2(x_2; y_2) \), то её уравнение имеет вид: \[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \] 4. Каноническое уравнение прямой Если известен направляющий вектор прямой \( \vec{p} = (a; b) \) и точка \( M_0(x_0; y_0) \), лежащая на ней: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} \] 5. Уравнение прямой в отрезках Если прямая пересекает оси координат в точках \( (a; 0) \) и \( (0; b) \), её уравнение: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \] Здесь \( a \) и \( b \) — величины отрезков, которые прямая отсекает на осях \( Ox \) и \( Oy \). 6. Параметрические уравнения прямой Выражаются через параметр \( t \): \[ \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \] где \( (x_0; y_0) \) — координаты точки на прямой, а \( (a; b) \) — координаты направляющего вектора. Пример решения задачи: Найти уравнение прямой, проходящей через точки \( A(1; 2) \) и \( B(3; 6) \). Используем формулу для двух точек: \[ \frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{6 - 2} \] \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} \] Перемножаем крест-накрест: \[ 4(x - 1) = 2(y - 2) \] \[ 4x - 4 = 2y - 4 \] \[ 2y = 4x \] \[ y = 2x \] Ответ: \( y = 2x \).