Решение задачи R h c и задачи 5: Частица в потенциальном ящике

Для решения задачи №5 о частице в потенциальном ящике воспользуемся методами квантовой механики. Условие: Вычислить отношение вероятностей нахождения частицы в основном (\( n=1 \)) и третьем возбужденном (\( n=4 \)) состоянии во второй трети ящика (интервал от \( L/3 \) до \( 2L/3 \)). Решение: 1. Волновая функция частицы в бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной \( L \) имеет вид: \[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin\left( \frac{n \pi x}{L} \right) \] 2. Вероятность \( W \) нахождения частицы в интервале от \( a \) до \( b \) определяется интегралом от квадрата модуля волновой функции: \[ W_n = \int_{a}^{b} |\psi_n(x)|^2 dx = \frac{2}{L} \int_{a}^{b} \sin^2\left( \frac{n \pi x}{L} \right) dx \] 3. Используем тригонометрическую формулу \( \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \): \[ W_n = \frac{2}{L} \int_{a}^{b} \frac{1 - \cos\left( \frac{2n \pi x}{L} \right)}{2} dx = \frac{1}{L} \left[ x - \frac{L}{2n\pi} \sin\left( \frac{2n \pi x}{L} \right) \right]_a^b \] 4. По условию интервал — вторая треть ящика, то есть \( a = \frac{L}{3} \), \( b = \frac{2L}{3} \). Подставим пределы: \[ W_n = \frac{1}{L} \left( \left( \frac{2L}{3} - \frac{L}{3} \right) - \frac{L}{2n\pi} \left( \sin\left( \frac{4n\pi}{3} \right) - \sin\left( \frac{2n\pi}{3} \right) \right) \right) \] \[ W_n = \frac{1}{3} - \frac{1}{2n\pi} \left( \sin\left( \frac{4n\pi}{3} \right) - \sin\left( \frac{2n\pi}{3} \right) \right) \] 5. Вычислим вероятность для основного состояния (\( n=1 \)): \[ W_1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2\pi} \left( \sin\frac{4\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2\pi} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2\pi} \] \[ W_1 \approx 0,333 + 0,275 = 0,608 \] 6. Вычислим вероятность для третьего возбужденного состояния (\( n=4 \)): \[ W_4 = \frac{1}{3} - \frac{1}{8\pi} \left( \sin\frac{16\pi}{3} - \sin\frac{8\pi}{3} \right) \] Заметим, что \( \sin\frac{16\pi}{3} = \sin(5\pi + \frac{\pi}{3}) = -\sin\frac{\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) И \( \sin\frac{8\pi}{3} = \sin(2\pi + \frac{2\pi}{3}) = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) \[ W_4 = \frac{1}{3} - \frac{1}{8\pi} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{8\pi} \] \[ W_4 \approx 0,333 + 0,069 = 0,402 \] 7. Найдем искомое отношение вероятностей: \[ \frac{W_1}{W_4} = \frac{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2\pi}}{\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{3}}{8\pi}} = \frac{\frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{6\pi}}{\frac{8\pi + 3\sqrt{3}}{24\pi}} = \frac{4(2\pi + 3\sqrt{3})}{8\pi + 3\sqrt{3}} \] \[ \frac{W_1}{W_4} \approx \frac{0,608}{0,402} \approx 1,51 \] Ответ: Отношение вероятностей нахождения частицы в основном и третьем возбужденном состояниях во второй трети ящика равно примерно 1,51.