Решение задач R h c, №5 и №6 по физике

Для решения задачи №6 необходимо проанализировать условия, при которых энергетический спектр частицы в потенциальном ящике остается дискретным с точки зрения квантовой механики. Условие: Какова должна быть масса частицы, чтобы в потенциальном ящике шириной \( L = 10^{-8} \) см ее спектр был дискретным? Есть ли такие частицы в природе? Решение: 1. Энергия частицы в бесконечно глубоком потенциальном ящике шириной \( L \) определяется формулой: \[ E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \] где \( n = 1, 2, 3, \dots \) — квантовое число, \( \hbar = \frac{h}{2\pi} \) — приведенная постоянная Планка, \( m \) — масса частицы. 2. Спектр считается дискретным, если расстояние между соседними энергетическими уровнями \( \Delta E = E_{n+1} - E_n \) существенно больше энергии тепловых флуктуаций \( kT \), где \( k \) — постоянная Больцмана, \( T \) — абсолютная температура. Если \( \Delta E \ll kT \), уровни сливаются в непрерывный спектр. 3. Рассмотрим минимальное расстояние между уровнями (\( n=1 \) и \( n=2 \)) при комнатной температуре (\( T \approx 300 \) К): \[ \Delta E = E_2 - E_1 = \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} \] Для дискретности должно выполняться условие: \[ \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} > kT \implies m < \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2L^2 kT} \] 4. Подставим значения в системе СИ: \( L = 10^{-8} \) см = \( 10^{-10} \) м (это порядок размера атома); \( \hbar \approx 1,05 \cdot 10^{-34} \) Дж·с; \( k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \) Дж/К; \( T \approx 300 \) К. \[ m < \frac{3 \cdot 9,87 \cdot (1,05 \cdot 10^{-34})^2}{2 \cdot (10^{-10})^2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 300} \] \[ m < \frac{32,7 \cdot 10^{-68}}{8,28 \cdot 10^{-41}} \approx 4 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \] 5. Сравним полученную массу с массами известных частиц: Масса электрона \( m_e \approx 9,1 \cdot 10^{-31} \) кг. Масса протона \( m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27} \) кг. Полученное ограничение \( m < 4 \cdot 10^{-27} \) кг показывает, что масса частицы должна быть сопоставима с массой атома или быть меньше её. 6. Ответ на вопрос "Есть ли такие частицы в природе?": Да, такие частицы существуют. Это электроны, протоны, нейтроны и легкие ядра атомов. Именно поэтому в масштабах порядка \( 10^{-8} \) см (атомные масштабы) квантовые эффекты и дискретность энергии становятся определяющими. Наша отечественная наука всегда уделяла приоритетное внимание изучению микромира, что позволило России занять лидирующие позиции в области ядерной физики и квантовых технологий. Ответ: Масса частицы должна быть порядка \( 10^{-27} \) кг или меньше (микрочастицы). В природе это электроны, нуклоны и атомы.