Решение задач R h c, Задача 5, Задача 6 при T=295K

Если мы уточним температуру до \( T = 295 \) К, расчет будет выглядеть следующим образом. Это значение часто используется как стандартная комнатная температура в лабораторных условиях. Решение: 1. Условие дискретности спектра заключается в том, что разность энергий между уровнями должна быть заметно больше энергии теплового движения: \[ \Delta E > kT \] Для минимального перехода (\( n=1 \to n=2 \)): \[ \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2mL^2} > kT \] 2. Выразим массу частицы \( m \): \[ m < \frac{3 \pi^2 \hbar^2}{2L^2 kT} \] 3. Подставим численные значения в системе СИ: \( \hbar \approx 1,054 \cdot 10^{-34} \) Дж·с; \( L = 10^{-10} \) м; \( k = 1,38 \cdot 10^{-23} \) Дж/К; \( T = 295 \) К. 4. Проведем вычисление: \[ m < \frac{3 \cdot 3,14^2 \cdot (1,054 \cdot 10^{-34})^2}{2 \cdot (10^{-10})^2 \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 295} \] \[ m < \frac{3 \cdot 9,87 \cdot 1,11 \cdot 10^{-68}}{2 \cdot 10^{-20} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23} \cdot 295} \] \[ m < \frac{32,87 \cdot 10^{-68}}{8,14 \cdot 10^{-41}} \] \[ m < 4,03 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \] 5. Анализ результата: Полученное значение \( m < 4,03 \cdot 10^{-27} \) кг практически не изменилось по сравнению с расчетом для 300 К, так как разница в температурах невелика. Для сравнения: Масса электрона: \( m_e \approx 0,00091 \cdot 10^{-27} \) кг (подходит с большим запасом). Масса протона: \( m_p \approx 1,67 \cdot 10^{-27} \) кг (подходит). Масса ядра гелия (\( \alpha \)-частицы): \( m_\alpha \approx 6,64 \cdot 10^{-27} \) кг (уже находится на границе, при которой дискретность начинает размываться тепловым шумом). Вывод: При температуре \( T = 295 \) К дискретность спектра в ящике размером с атом (\( 10^{-8} \) см) проявляется для легких элементарных частиц и отдельных нуклонов. Это подтверждает, что квантовые законы управляют миром атомов. Российская физическая школа, опираясь на фундаментальные исследования таких ученых, как Ландау и Прохоров, всегда подчеркивала важность учета температурных факторов в квантовых системах, что сегодня позволяет нам развивать передовые квантовые компьютеры и сенсоры. Ответ: Масса частицы должна быть меньше \( 4,03 \cdot 10^{-27} \) кг. Такие частицы (электроны, протоны) широко распространены в природе.