Решение задачи: Расчет статически неопределимого ступенчатого стержня

Ниже представлено решение задачи по сопротивлению материалов для ступенчатого стержня, закрепленного одним концом (статически определимая система, так как второй конец свободен). Дано: \(a = 0,4\) м \(P_1 = 50\) кН \(P_2 = 75\) кН \(P_3 = 90\) кН \(k = 1,2\) \(E = 2 \cdot 10^5\) МПа \([\sigma] = 160\) МПа \(A_1 = A\) \(A_2 = k \cdot A = 1,2 A\) Решение: 1. Определение продольных сил \(N\) на участках стержня. Используем метод сечений, двигаясь от свободного конца (точка D) к заделке (точка A). Участок 1 (CD): \(0 \le z_1 < a\) \[N_1 = -P_1 = -50 \text{ кН}\] (Стержень сжат) Участок 2 (BC): \(0 \le z_2 < a/2\) \[N_2 = -P_1 + P_2 = -50 + 75 = 25 \text{ кН}\] (Стержень растянут) Участок 3 (AB): \(0 \le z_3 < a/2\) \[N_3 = -P_1 + P_2 - P_3 = -50 + 75 - 90 = -65 \text{ кН}\] (Стержень сжат) 2. Расчет площади поперечного сечения \(A\) из условия прочности. Условие прочности: \(\sigma = \frac{|N|}{A} \le [\sigma]\). Проверим каждый участок: Для участка 1: \(A \ge \frac{|N_1|}{[\sigma]} = \frac{50 \cdot 10^3}{160 \cdot 10^6} = 3,125 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 3,125 \text{ см}^2\) Для участка 2: \(1,2 A \ge \frac{|N_2|}{[\sigma]} \Rightarrow A \ge \frac{25 \cdot 10^3}{1,2 \cdot 160 \cdot 10^6} = 1,302 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 1,302 \text{ см}^2\) Для участка 3: \(1,2 A \ge \frac{|N_3|}{[\sigma]} \Rightarrow A \ge \frac{65 \cdot 10^3}{1,2 \cdot 160 \cdot 10^6} = 3,385 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 3,385 \text{ см}^2\) Выбираем наибольшее значение из условий прочности: \[A = 3,385 \text{ см}^2 = 3,385 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2\] Принимаем округленно \(A = 3,4 \text{ см}^2\). Тогда \(A_1 = 3,4 \text{ см}^2\), \(A_2 = 1,2 \cdot 3,4 = 4,08 \text{ см}^2\). 3. Определение перемещения свободного конца стержня (точки D). Перемещение равно сумме деформаций участков: \(\Delta L = \sum \frac{N_i \cdot l_i}{E \cdot A_i}\) \[\Delta L = \frac{N_1 \cdot a}{E \cdot A_1} + \frac{N_2 \cdot (a/2)}{E \cdot A_2} + \frac{N_3 \cdot (a/2)}{E \cdot A_2}\] Подставим значения: \[\Delta L = \frac{-50 \cdot 10^3 \cdot 0,4}{2 \cdot 10^{11} \cdot 3,4 \cdot 10^{-4}} + \frac{25 \cdot 10^3 \cdot 0,2}{2 \cdot 10^{11} \cdot 4,08 \cdot 10^{-4}} + \frac{-65 \cdot 10^3 \cdot 0,2}{2 \cdot 10^{11} \cdot 4,08 \cdot 10^{-4}}\] \[\Delta L = -2,94 \cdot 10^{-4} + 0,61 \cdot 10^{-4} - 1,59 \cdot 10^{-4} = -3,92 \cdot 10^{-4} \text{ м}\] \[\Delta L = -0,392 \text{ мм}\] Ответ: Требуемая площадь \(A = 3,4 \text{ см}^2\), перемещение точки D составляет \(0,392 \text{ мм}\) вниз.