375. Найдите значение выражения:
Для решения этой задачи мы будем использовать свойство корней: \( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \). Также будем стараться выносить множители из-под знака корня, чтобы упростить вычисления.
а) \( \sqrt{75 \cdot 48} \)
Решение:
Разложим числа 75 и 48 на простые множители или на множители, из которых можно извлечь квадратный корень.
\( 75 = 25 \cdot 3 \)
\( 48 = 16 \cdot 3 \)
Теперь подставим эти разложения в выражение:
\( \sqrt{75 \cdot 48} = \sqrt{(25 \cdot 3) \cdot (16 \cdot 3)} \)
Перегруппируем множители:
\( \sqrt{25 \cdot 16 \cdot 3 \cdot 3} \)
\( \sqrt{25 \cdot 16 \cdot 3^2} \)
Используем свойство корней \( \sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} \):
\( \sqrt{25} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{3^2} \)
Извлекаем корни:
\( 5 \cdot 4 \cdot 3 \)
Выполняем умножение:
\( 20 \cdot 3 = 60 \)
Ответ: 60
б) \( \sqrt{45 \cdot 80} \)
Решение:
Разложим числа 45 и 80 на множители:
\( 45 = 9 \cdot 5 \)
\( 80 = 16 \cdot 5 \)
Подставим в выражение:
\( \sqrt{45 \cdot 80} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (16 \cdot 5)} \)
Перегруппируем множители:
\( \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 5 \cdot 5} \)
\( \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 5^2} \)
Используем свойство корней:
\( \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{5^2} \)
Извлекаем корни:
\( 3 \cdot 4 \cdot 5 \)
Выполняем умножение:
\( 12 \cdot 5 = 60 \)
Ответ: 60
в) \( \sqrt{4,9 \cdot 360} \)
Решение:
Чтобы избавиться от десятичной дроби, представим 4,9 как \( \frac{49}{10} \). Число 360 можно представить как \( 36 \cdot 10 \).
\( \sqrt{4,9 \cdot 360} = \sqrt{\frac{49}{10} \cdot 360} \)
Сократим 10 в знаменателе и 360:
\( \sqrt{49 \cdot \frac{360}{10}} \)
\( \sqrt{49 \cdot 36} \)
Используем свойство корней:
\( \sqrt{49} \cdot \sqrt{36} \)
Извлекаем корни:
\( 7 \cdot 6 \)
Выполняем умножение:
\( 42 \)
Ответ: 42
г) \( \sqrt{160 \cdot 6,4} \)
Решение:
Представим 6,4 как \( \frac{64}{10} \). Число 160 можно представить как \( 16 \cdot 10 \).
\( \sqrt{160 \cdot 6,4} = \sqrt{160 \cdot \frac{64}{10}} \)
Сократим 10 в знаменателе и 160:
\( \sqrt{\frac{160}{10} \cdot 64} \)
\( \sqrt{16 \cdot 64} \)
Используем свойство корней:
\( \sqrt{16} \cdot \sqrt{64} \)
Извлекаем корни:
\( 4 \cdot 8 \)
Выполняем умножение:
\( 32 \)
Ответ: 32