Решение задачи о движении векторов импульса при столкновении шаров

На основании представленного рисунка решим задачу на закон сохранения импульса при столкновении двух тел (шаров). Дано: \(m_1\) — масса первого шара; \(m_2\) — масса второго шара (предположим \(m_1 = m_2 = m\) для классической задачи о бильярдных шарах, если не указано иное); \(v_0\) — начальная скорость первого шара (направлена вдоль оси \(x\)); \(\alpha = 60^\circ\) — угол отклонения первого шара после столкновения относительно оси \(x\). Найти: Уравнения движения векторов импульса в проекциях на оси координат. Решение: 1. Согласно закону сохранения импульса в векторном виде: \[ \vec{p}_0 = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 \] где \(\vec{p}_0 = m_1 \vec{v}_0\) — импульс первого шара до удара, \(\vec{p}_1 = m_1 \vec{v}_1\) и \(\vec{p}_2 = m_2 \vec{v}_2\) — импульсы шаров после удара. 2. Запишем проекции импульсов на оси координат \(x\) и \(y\). На рисунке ось \(x\) направлена вертикально вниз, а ось \(y\) — горизонтально вправо. Проекция на ось \(x\): \[ m_1 v_0 = m_1 v_1 \cos \alpha + m_2 v_{2x} \] Подставим значение угла \(\alpha = 60^\circ\): \[ m_1 v_0 = m_1 v_1 \cos 60^\circ + m_2 v_{2x} \] Так как \(\cos 60^\circ = 0,5\), получаем: \[ m_1 v_0 = 0,5 m_1 v_1 + m_2 v_{2x} \] Проекция на ось \(y\): До столкновения импульс по оси \(y\) равен нулю. \[ 0 = m_1 v_1 \sin \alpha - m_2 v_{2y} \] Подставим значение угла \(\alpha = 60^\circ\): \[ 0 = m_1 v_1 \sin 60^\circ - m_2 v_{2y} \] Так как \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), получаем: \[ m_2 v_{2y} = m_1 v_1 \frac{\sqrt{3}}{2} \] 3. Описание векторов по рисунку: - Вектор \(m_1 v_1\) направлен под углом \(60^\circ\) к оси \(x\). Это означает, что после удара первый шар отклонился вправо. - Чтобы выполнялся закон сохранения импульса, второй шар должен иметь составляющую скорости, направленную влево (отрицательное значение по \(y\), если считать вправо положительным) или первый шар отклоняется в одну сторону, а второй в другую для компенсации поперечного импульса. - На схеме вектор \(m_1 v_1\) показан в четвертой четверти (между положительными осями \(x\) и \(y\)). Ответ для записи в тетрадь: Система уравнений для проекций импульсов имеет вид: \[ \begin{cases} m_1 v_0 = m_1 v_1 \cos 60^\circ + m_2 v_{2x} \\ 0 = m_1 v_1 \sin 60^\circ - m_2 v_{2y} \end{cases} \] После подстановки тригонометрических значений: \[ \begin{cases} m_1 v_0 = \frac{1}{2} m_1 v_1 + m_2 v_{2x} \\ m_2 v_{2y} = \frac{\sqrt{3}}{2} m_1 v_1 \end{cases} \]