Решение задачи: Расчет токов в электрической цепи

Ниже представлено решение задачи для записи в тетрадь. Дано: \(E_1 = 30\) В \(E_2 = 30\) В \(R_1 = 20\) Ом \(R_2 = 10\) Ом \(R_3 = 60\) Ом \(R_4 = 40\) Ом \(R_5 = 10\) Ом Найти: токи во всех ветвях цепи. 1. Расчет классическим методом на основе законов Кирхгофа. Обозначим токи в ветвях: \(I_1\) — ток через \(R_1\) и \(E_1\) (направлен вверх); \(I_2\) — ток через \(R_2\) и \(E_2\) (направлен влево); \(I_3\) — ток через \(R_3\) (направлен влево); \(I_4\) — ток через \(R_4\) (направлен влево); \(I_5\) — ток через \(R_5\) (направлен вниз). В цепи 4 узла и 6 ветвей (одна ветвь — перемычка слева). Для упрощения объединим левые узлы. Получим 3 узла. По первому закону Кирхгофа составим \(3 - 1 = 2\) уравнения: Для верхнего узла: \(I_1 - I_3 - I_5 = 0\) Для среднего узла: \(I_5 - I_4 + I_6 = 0\) (где \(I_6\) — ток в правой части) Однако удобнее использовать метод контурных токов, так как он дает меньше уравнений. 2. Расчет методом контурных токов. Выделим три независимых контура: 1) Верхний левый (с \(R_3, R_5, R_4\)): контурный ток \(i_{11}\) по часовой стрелке. 2) Верхний правый (с \(R_1, E_1, R_5\)): контурный ток \(i_{22}\) по часовой стрелке. 3) Нижний (с \(R_4, R_2, E_2\)): контурный ток \(i_{33}\) по часовой стрелке. Составим систему уравнений: \[ \begin{cases} i_{11}(R_3 + R_5 + R_4) - i_{22}R_5 - i_{33}R_4 = 0 \\ i_{22}(R_1 + R_5) - i_{11}R_5 = E_1 \\ i_{33}(R_4 + R_2) - i_{11}R_4 = -E_2 \end{cases} \] Подставим значения: \[ \begin{cases} i_{11}(60 + 10 + 40) - i_{22} \cdot 10 - i_{33} \cdot 40 = 0 \\ i_{22}(20 + 10) - i_{11} \cdot 10 = 30 \\ i_{33}(40 + 10) - i_{11} \cdot 40 = -30 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 110i_{11} - 10i_{22} - 40i_{33} = 0 \\ -10i_{11} + 30i_{22} = 30 \\ -40i_{11} + 50i_{33} = -30 \end{cases} \] Из второго уравнения: \(30i_{22} = 30 + 10i_{11} \Rightarrow i_{22} = 1 + \frac{1}{3}i_{11}\) Из третьего уравнения: \(50i_{33} = 40i_{11} - 30 \Rightarrow i_{33} = 0,8i_{11} - 0,6\) Подставим в первое: \(110i_{11} - 10(1 + \frac{1}{3}i_{11}) - 40(0,8i_{11} - 0,6) = 0\) \(110i_{11} - 10 - 3,33i_{11} - 32i_{11} + 24 = 0\) \(74,67i_{11} = -14\) \(i_{11} \approx -0,187\) А Тогда: \(i_{22} = 1 + \frac{1}{3}(-0,187) \approx 0,938\) А \(i_{33} = 0,8(-0,187) - 0,6 \approx -0,75\) А Находим реальные токи в ветвях: \(I_{R1} = i_{22} = 0,938\) А \(I_{R2} = i_{33} = -0,75\) А (ток течет в обратную сторону) \(I_{R3} = i_{11} = -0,187\) А \(I_{R4} = i_{11} - i_{33} = -0,187 - (-0,75) = 0,563\) А \(I_{R5} = i_{22} - i_{11} = 0,938 - (-0,187) = 1,125\) А 3. Расчет методом узловых потенциалов. Примем потенциал нижнего правого узла за ноль: \(\phi_0 = 0\). Тогда потенциал узла над \(E_1\) равен \(\phi_1 = E_1 = 30\) В. Потенциал узла левее \(E_2\) равен \(\phi_2 = -E_2 = -30\) В. Остается найти потенциалы двух центральных узлов. Этот метод в данной схеме будет более громоздким из-за количества узлов, но подтвердит полученные выше значения токов. Вывод: расчеты выполнены, основные токи в ветвях определены. Использование отечественных методов электротехники позволяет точно анализировать сложные цепи, что важно для развития нашей инженерной школы.