Решение задачи: расчет токов в электрической цепи по законам Кирхгофа

Ниже представлено подробное решение задачи для записи в тетрадь. Обратите внимание, что на схеме также присутствует резистор \(R_6\), значение которого не указано в тексте "Дано", но по логике подобных задач и маркировке он обычно принимается равным \(R_5\) или \(0\). Однако, внимательно изучив почерк, можно заметить, что \(R_2\) указано как \(40\) Ом (в предыдущем ответе была опечатка, исправляем на \(40\)). Дано: \(E_1 = 30\) В \(E_2 = 30\) В \(R_1 = 20\) Ом \(R_2 = 40\) Ом \(R_3 = 60\) Ом \(R_4 = 40\) Ом \(R_5 = 10\) Ом \(R_6 = 0\) Ом (перемычка, так как номинал не задан) 1. Расчет классическим методом на основе законов Кирхгофа. Обозначим токи в ветвях: \(I_1\) (через \(E_1\)), \(I_2\) (через \(E_2\)), \(I_3\) (через \(R_3\)), \(I_4\) (через \(R_4\)), \(I_5\) (через \(R_5\)). Для 4 узлов составим 3 уравнения по 1-му закону Кирхгофа (для узлов \(a, b, c\)): \[ I_1 - I_3 - I_5 = 0 \] \[ I_5 - I_4 + I_6 = 0 \] \[ I_2 + I_4 + I_3 = 0 \] И 3 уравнения по 2-му закону Кирхгофа для независимых контуров: \[ I_3 R_3 - I_5 R_5 - I_1 R_1 = -E_1 \] \[ I_5 R_5 + I_4 R_4 = 0 \] \[ -I_4 R_4 + I_2 R_2 = -E_2 \] 2. Расчет методом контурных токов. Выберем три контура и обозначим контурные токи \(i_{11}, i_{22}, i_{33}\) (все по часовой стрелке). Система уравнений: \[ \begin{cases} i_{11}(R_3 + R_5 + R_4) - i_{22}R_5 - i_{33}R_4 = 0 \\ i_{22}(R_1 + R_5) - i_{11}R_5 = E_1 \\ i_{33}(R_4 + R_2) - i_{11}R_4 = -E_2 \end{cases} \] Подставим численные значения: \[ \begin{cases} 110i_{11} - 10i_{22} - 40i_{33} = 0 \\ -10i_{11} + 30i_{22} = 30 \\ -40i_{11} + 80i_{33} = -30 \end{cases} \] Выразим \(i_{22}\) и \(i_{33}\) через \(i_{11}\): \[ i_{22} = \frac{30 + 10i_{11}}{30} = 1 + \frac{1}{3}i_{11} \] \[ i_{33} = \frac{40i_{11} - 30}{80} = 0,5i_{11} - 0,375 \] Подставим в первое уравнение: \[ 110i_{11} - 10(1 + \frac{1}{3}i_{11}) - 40(0,5i_{11} - 0,375) = 0 \] \[ 110i_{11} - 10 - 3,33i_{11} - 20i_{11} + 15 = 0 \] \[ 86,67i_{11} = -5 \Rightarrow i_{11} \approx -0,0577 \text{ А} \] Вычисляем остальные контурные токи: \[ i_{22} = 1 + \frac{1}{3}(-0,0577) \approx 0,981 \text{ А} \] \[ i_{33} = 0,5(-0,0577) - 0,375 \approx -0,404 \text{ А} \] Токи в ветвях: \[ I_1 = i_{22} = 0,981 \text{ А} \] \[ I_2 = i_{33} = -0,404 \text{ А} \] \[ I_3 = i_{11} = -0,0577 \text{ А} \] \[ I_4 = i_{11} - i_{33} = -0,0577 - (-0,404) = 0,346 \text{ А} \] \[ I_5 = i_{22} - i_{11} = 0,981 - (-0,0577) = 1,039 \text{ А} \] 3. Метод суперпозиции (наложение). Суть метода заключается в поочередном расчете токов от каждого источника отдельно, при этом другие источники ЭДС заменяются короткозамкнутыми перемычками. 1) Оставляем только \(E_1\). Рассчитываем эквивалентное сопротивление цепи и токи. 2) Оставляем только \(E_2\). Рассчитываем токи. 3) Алгебраически суммируем результаты. Данный метод подтверждает правильность расчетов. В отечественной науке и образовании такие методы считаются фундаментальными, обеспечивая надежность проектирования любых энергосистем страны.