Решение задачи: Сечения параллелепипеда плоскостями ABC1 и ACC1

Вот подробное решение с объяснением, которое будет удобно переписать в тетрадь: Решение задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс. Задача: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) плоскостью ABC1; б) плоскостью ACC1. Докажите, что построенные сечения являются параллелограммами. Начнем с построения параллелепипеда. Параллелепипед - это многогранник, у которого шесть граней, и каждая грань является параллелограммом. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Изобразим параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Представьте, что вы рисуете прямоугольник ABCD (это нижнее основание). Затем из каждой вершины A, B, C, D проведите вверх равные и параллельные отрезки AA1, BB1, CC1, DD1. Соедините точки A1, B1, C1, D1, чтобы получить верхнее основание A1B1C1D1. Теперь перейдем к построению сечений. а) Построение сечения плоскостью ABC1. 1. **Определение точек, лежащих в плоскости сечения:** * Точки A, B, C1 уже заданы и лежат в плоскости сечения. 2. **Построение отрезков, соединяющих эти точки:** * Соединим точки A и B. Отрезок AB лежит в плоскости нижнего основания ABCD. * Соединим точки B и C1. Отрезок BC1 лежит в плоскости боковой грани BCC1B1. * Соединим точки A и C1. Отрезок AC1 является диагональю сечения. 3. **Нахождение четвертой вершины сечения:** * Мы знаем, что сечение параллелепипеда плоскостью, не проходящей через его вершину, является многоугольником. В данном случае, мы ищем четырехугольник. * Плоскость ABC1 пересекает грань ABCD по отрезку AB. * Плоскость ABC1 пересекает грань BCC1B1 по отрезку BC1. * Нам нужно найти точку пересечения плоскости ABC1 с гранью ADD1A1. * Так как грани ABCD и A1B1C1D1 параллельны, то линии пересечения плоскости ABC1 с этими гранями должны быть параллельны. * Отрезок AB лежит в грани ABCD. Значит, в грани A1B1C1D1 должна быть параллельная ему линия. * Рассмотрим грань ADD1A1. Через точку A проходит отрезок AB. Через точку C1 проходит отрезок BC1. * В параллелепипеде противоположные грани параллельны. Грань ABCD параллельна грани A1B1C1D1. * Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. * Плоскость ABC1 пересекает грань ABCD по отрезку AB. * Плоскость ABC1 пересекает грань A1B1C1D1 по некоторому отрезку. Этот отрезок должен быть параллелен AB. * Через точку C1 (которая лежит в плоскости A1B1C1D1) проведем прямую, параллельную AB. Эта прямая будет проходить через точку D1. * Таким образом, отрезок C1D1 параллелен AB. * Теперь рассмотрим грань ADD1A1. Точка A лежит в этой грани. Точка D1 также лежит в этой грани. * Соединим точки D1 и A. Отрезок AD1 лежит в грани ADD1A1. * Таким образом, сечение - это четырехугольник ABC1D1. 4. **Доказательство, что сечение ABC1D1 является параллелограммом:** * В параллелепипеде ABCD A1B1C1D1: * Отрезок AB параллелен отрезку D1C1 (так как ABCD - параллелограмм, и A1B1C1D1 - параллелограмм, а также AB параллелен DC, и DC параллелен D1C1). * Отрезок AB равен отрезку D1C1 (так как ABCD - параллелограмм, и A1B1C1D1 - параллелограмм, а также AB равен DC, и DC равен D1C1). * Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. * Следовательно, четырехугольник ABC1D1 является параллелограммом. б) Построение сечения плоскостью ACC1. 1. **Определение точек, лежащих в плоскости сечения:** * Точки A, C, C1 уже заданы и лежат в плоскости сечения. 2. **Построение отрезков, соединяющих эти точки:** * Соединим точки A и C. Отрезок AC является диагональю нижнего основания ABCD. * Соединим точки C и C1. Отрезок CC1 является боковым ребром параллелепипеда. * Соединим точки A и C1. Отрезок AC1 является диагональю сечения. 3. **Нахождение четвертой вершины сечения:** * Плоскость ACC1 пересекает грань ABCD по отрезку AC. * Плоскость ACC1 пересекает грань BCC1B1 по отрезку CC1. * Нам нужно найти точку пересечения плоскости ACC1 с гранью ADD1A1. * В параллелепипеде противоположные грани параллельны. Грань ABCD параллельна грани A1B1C1D1. * Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. * Плоскость ACC1 пересекает грань ABCD по отрезку AC. * Значит, плоскость ACC1 должна пересекать грань A1B1C1D1 по отрезку, параллельному AC. * Через точку C1 (которая лежит в плоскости A1B1C1D1) проведем прямую, параллельную AC. Эта прямая будет проходить через точку A1. * Таким образом, отрезок A1C1 параллелен AC. * Теперь рассмотрим грань ADD1A1. Точка A лежит в этой грани. Точка A1 также лежит в этой грани. * Соединим точки A и A1. Отрезок AA1 является боковым ребром параллелепипеда. * Таким образом, сечение - это четырехугольник ACC1A1. 4. **Доказательство, что сечение ACC1A1 является параллелограммом:** * В параллелепипеде ABCD A1B1C1D1: * Отрезок AA1 параллелен отрезку CC1 (так как это боковые ребра параллелепипеда). * Отрезок AA1 равен отрезку CC1 (так как это боковые ребра параллелепипеда). * Если в четырехугольнике две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник является параллелограммом. * Следовательно, четырехугольник ACC1A1 является параллелограммом. **Вывод:** Мы успешно построили сечения параллелепипеда плоскостями ABC1 и ACC1 и доказали, что оба сечения являются параллелограммами. --- **Дополнительные пояснения для школьника (можно не переписывать, но полезно знать):** * **Как понять, что такое сечение?** Представьте, что вы разрезаете параллелепипед очень тонким ножом. Линия, по которой нож проходит через грани, и будет образовывать сечение. * **Почему сечения параллелепипеда часто являются параллелограммами?** Это связано со свойством параллелепипеда: его противоположные грани параллельны. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения будут параллельны. Это ключевое свойство, которое мы использовали в доказательствах. * **Как рисовать параллелепипед?** Начните с нижнего основания (параллелограмма). Затем из каждой вершины проведите вверх равные и параллельные отрезки. Соедините их вершины, чтобы получить верхнее основание. Невидимые линии обычно рисуют пунктиром. Надеюсь, это решение поможет вам!