Построение сечения тетраэдра плоскостью, параллельной AC и BD

Вот подробное решение задачи с объяснениями, которое удобно переписать в тетрадь: Решение задачи: Построение сечения тетраэдра Задача: Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку M на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и BD. Построение: 1. Изобразим тетраэдр ABCD. * Нарисуем треугольник ABC (основание тетраэдра). * Из вершины D проведем отрезки DA, DB, DC. * Отрезки, которые не видны, можно изобразить пунктирными линиями. 2. Отметим точку M на ребре AB. * Выберем любую точку на отрезке AB и обозначим её M. 3. Построим сечение плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым AC и BD. * Шаг 1: Построим прямую, проходящую через M параллельно AC. * В плоскости грани ABC (или ABD, так как AC лежит в ABC) через точку M проведем прямую, параллельную AC. * Эта прямая пересечет ребро BC в некоторой точке, назовем её N. * Отрезок MN — это первая сторона нашего сечения. * (Обоснование: Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой. Здесь плоскость сечения параллельна AC, и она пересекает плоскость ABC, содержащую AC. Значит, линия пересечения MN параллельна AC.) * Шаг 2: Построим прямую, проходящую через M параллельно BD. * В плоскости грани ABD (или ABC, так как BD лежит в ABD) через точку M проведем прямую, параллельную BD. * Эта прямая пересечет ребро AD в некоторой точке, назовем её P. * Отрезок MP — это вторая сторона нашего сечения. * (Обоснование: Аналогично предыдущему шагу. Плоскость сечения параллельна BD, и она пересекает плоскость ABD, содержащую BD. Значит, линия пересечения MP параллельна BD.) * Шаг 3: Найдем остальные вершины сечения. * Теперь у нас есть две точки N и P, лежащие в плоскости сечения. * Через точку N (на ребре BC) проведем прямую, параллельную BD. * Эта прямая будет лежать в плоскости грани BCD. * Она пересечет ребро CD в некоторой точке, назовем её Q. * Отрезок NQ — это третья сторона сечения. * (Обоснование: Плоскость сечения параллельна BD. Плоскость BCD содержит BD. Линия пересечения NQ должна быть параллельна BD.) * Через точку P (на ребре AD) проведем прямую, параллельную AC. * Эта прямая будет лежать в плоскости грани ACD. * Она пересечет ребро CD в некоторой точке. * Важно: Эта точка должна совпасть с точкой Q, которую мы уже нашли. * (Обоснование: Если плоскость сечения параллельна AC, и она пересекает плоскость ACD, содержащую AC, то линия пересечения PQ должна быть параллельна AC. Таким образом, PQ параллельна AC.) * Шаг 4: Соединим полученные точки. * Соединим точки M, N, Q, P последовательно. * Полученный четырехугольник MNQP является искомым сечением. Доказательство, что MNQP — искомое сечение: 1. Точки M, N, Q, P лежат на ребрах тетраэдра, значит, они принадлежат тетраэдру. 2. Прямая MN параллельна AC (по построению). 3. Прямая MP параллельна BD (по построению). 4. Прямая NQ параллельна BD (по построению). 5. Прямая PQ параллельна AC (по построению). Так как MN || AC и PQ || AC, то MN || PQ. Так как MP || BD и NQ || BD, то MP || NQ. Следовательно, четырехугольник MNQP является параллелограммом. Плоскость, содержащая этот параллелограмм, проходит через точку M и параллельна прямым AC и BD, что и требовалось построить. Изображение (для тетради): (Здесь вы должны нарисовать тетраэдр и все построенные линии. Пунктиром можно обозначить невидимые линии и линии, которые используются для построения, но не являются частью сечения.) * Нарисуйте тетраэдр ABCD. * Отметьте M на AB. * Проведите MN || AC (N на BC). * Проведите MP || BD (P на AD). * Проведите NQ || BD (Q на CD). * Проведите PQ || AC (Q на CD, убедитесь, что это та же точка). * Заштрихуйте или выделите четырехугольник MNQP. Это полное и подробное объяснение, которое легко переписать в тетрадь.