Решение задачи: Сечение параллелепипеда плоскостью

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику, с использованием MathJax для формул и без Markdown. ***

Решение задачи по геометрии

Условие задачи:

Изобразите параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ \(AC\) основания параллельно диагонали \(BD_1\). Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы \(ABB_1\) и \(CBB_1\) прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

1. Построение сечения

Шаг 1: Изображение параллелепипеда

Нарисуем параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Основание \(ABCD\) — параллелограмм, верхнее основание \(A_1B_1C_1D_1\) — также параллелограмм. Боковые рёбра \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\) параллельны и равны.

Шаг 2: Построение плоскости сечения

Плоскость сечения \(\alpha\) проходит через диагональ \(AC\) основания и параллельна диагонали \(BD_1\). 1. **Проведём диагональ \(AC\)** в основании \(ABCD\). Это одна из сторон нашего сечения. 2. **Проведём диагональ \(BD_1\)**. 3. Так как плоскость \(\alpha\) параллельна \(BD_1\), то в плоскости \(\alpha\) должна существовать прямая, параллельная \(BD_1\). 4. Рассмотрим плоскость \(BDD_1B_1\). В этой плоскости проведём прямую, параллельную \(BD_1\) и проходящую через точку \(O\), где \(O\) — точка пересечения диагоналей основания \(AC\) и \(BD\). * Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). * Через точку \(O\) проведём прямую \(OK\) параллельно \(BD_1\), где \(K\) лежит на \(BB_1\). * Поскольку \(O\) — середина \(BD\), а \(OK \parallel BD_1\), то \(K\) будет серединой \(BB_1\). (Это следует из теоремы Фалеса или подобия треугольников, если рассмотреть плоскость \(BDD_1B_1\)). * Таким образом, точка \(K\) — середина ребра \(BB_1\). 5. Теперь у нас есть две точки сечения: \(A\), \(C\) и \(K\). 6. Соединим точки \(A\), \(C\) и \(K\). Полученный треугольник \(ACK\) является искомым сечением.

Шаг 3: Доказательство, что \(ACK\) — сечение

* Точки \(A\) и \(C\) лежат в плоскости основания \(ABCD\), которая является частью параллелепипеда. * Точка \(K\) лежит на ребре \(BB_1\), которое является частью параллелепипеда. * Прямая \(AC\) лежит в плоскости сечения. * Прямая \(OK\) лежит в плоскости сечения и параллельна \(BD_1\). * Таким образом, плоскость, проходящая через \(A\), \(C\) и \(K\), содержит прямую \(OK\), параллельную \(BD_1\). Следовательно, это и есть искомое сечение.

2. Доказательство, что сечение — равнобедренный треугольник

Условие:

* Основание параллелепипеда \(ABCD\) — ромб. * Углы \(ABB_1\) и \(CBB_1\) прямые.

Шаг 1: Анализ условий

1. **Основание \(ABCD\) — ромб.** * Это означает, что все стороны основания равны: \(AB = BC = CD = DA\). * Диагонали ромба перпендикулярны: \(AC \perp BD\). * Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\). 2. **Углы \(ABB_1\) и \(CBB_1\) прямые.** * Это означает, что ребро \(BB_1\) перпендикулярно \(AB\) и \(BB_1\) перпендикулярно \(BC\). * Если прямая \(BB_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(AB\) и \(BC\) в плоскости основания, то \(BB_1\) перпендикулярна всей плоскости основания \(ABCD\). * Следовательно, данный параллелепипед является прямым. То есть, все боковые рёбра перпендикулярны основаниям.

Шаг 2: Доказательство равенства сторон \(AK\) и \(CK\)

Нам нужно доказать, что треугольник \(ACK\) равнобедренный, то есть \(AK = CK\). Рассмотрим треугольники \(ABK\) и \(CBK\). 1. **Сторона \(AB\)**: \(AB\) — сторона ромба. 2. **Сторона \(BC\)**: \(BC\) — сторона ромба. * Так как \(ABCD\) — ромб, то \(AB = BC\). 3. **Сторона \(BK\)**: \(BK\) — общая сторона для обоих треугольников. 4. **Угол \(ABK\)**: * Мы знаем, что \(BB_1 \perp AB\) (из условия, что \(\angle ABB_1\) прямой). * Следовательно, \(\angle ABK\) — прямой угол (\(90^\circ\)). 5. **Угол \(CBK\)**: * Мы знаем, что \(BB_1 \perp BC\) (из условия, что \(\angle CBB_1\) прямой). * Следовательно, \(\angle CBK\) — прямой угол (\(90^\circ\)). Таким образом, треугольники \(ABK\) и \(CBK\) являются прямоугольными треугольниками. У нас есть: * \(AB = BC\) (катеты) * \(BK = BK\) (общий катет) * \(\angle ABK = \angle CBK = 90^\circ\) (углы между катетами) По первому признаку равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам), или по признаку равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (СУС), треугольники \(ABK\) и \(CBK\) равны. Из равенства треугольников \(ABK\) и \(CBK\) следует равенство соответствующих сторон: \[AK = CK\]

Шаг 3: Вывод

Поскольку \(AK = CK\), треугольник \(ACK\) является равнобедренным.

Заключение:

Мы построили сечение \(ACK\) и доказали, что при заданных условиях (основание — ромб, углы \(ABB_1\) и \(CBB_1\) прямые) это сечение является равнобедренным треугольником. ***