Решение задачи: Найти сторону треугольника по теореме косинусов

Для решения этой задачи нам понадобится теорема косинусов. Она позволяет найти третью сторону треугольника, если известны две другие стороны и косинус угла между ними. Запись в тетрадь: Дано: \( a = 13 \) см; \( b = 5 \) см; \( \sin(\alpha) = \frac{12}{13} \); \( \alpha \) — острый угол. Найти: \( c \) (третья сторона) — ? Решение: 1. Для теоремы косинусов нам необходимо знать \( \cos(\alpha) \). Используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \] \[ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169} \] Так как по условию угол \( \alpha \) острый, то \( \cos(\alpha) \) будет положительным: \[ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \] 2. Запишем теорему косинусов для стороны \( c \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\alpha) \] 3. Подставим числовые значения: \[ c^2 = 13^2 + 5^2 - 2 \cdot 13 \cdot 5 \cdot \frac{5}{13} \] \[ c^2 = 169 + 25 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \] (число 13 в числителе и знаменателе сократилось) \[ c^2 = 194 - 50 \] \[ c^2 = 144 \] 4. Находим сторону \( c \): \[ c = \sqrt{144} = 12 \] Ответ: 12 см.