Решение задач №5 и №6: Теорема Пифагора

Ниже представлено подробное решение задач №5 и №6 по теме «Теорема Пифагора», оформленное для записи в школьную тетрадь. Задача №5 Дано: ABCD — ромб; сторона \( AB = 13 \) см; диагональ \( AC = 10 \) см. Найти: диагональ BD. Решение: 1. По свойствам ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны (\( AC \perp BD \)) и точкой пересечения O делятся пополам. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB (угол \( \angle AOB = 90^\circ \)). 3. Найдем катет AO: \[ AO = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ (см)} \] 4. По теореме Пифагора для треугольника AOB: \[ AB^2 = AO^2 + BO^2 \] Отсюда выразим катет BO: \[ BO^2 = AB^2 - AO^2 \] \[ BO^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ BO = \sqrt{144} = 12 \text{ (см)} \] 5. Так как точка O — середина диагонали BD, то: \[ BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 12 = 24 \text{ (см)} \] Ответ: 24 см. Задача №6 Дано: Треугольник прямоугольный; катеты \( a : b = 3 : 4 \); гипотенуза \( c = 20 \) см. Найти: катеты \( a \) и \( b \). Решение: 1. Пусть \( x \) — коэффициент пропорциональности. Тогда катет \( a = 3x \), а катет \( b = 4x \). 2. По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] 3. Подставим значения в формулу: \[ (3x)^2 + (4x)^2 = 20^2 \] \[ 9x^2 + 16x^2 = 400 \] \[ 25x^2 = 400 \] \[ x^2 = \frac{400}{25} \] \[ x^2 = 16 \] \[ x = \sqrt{16} = 4 \] 4. Найдем длины катетов: Катет \( a = 3 \cdot 4 = 12 \text{ (см)} \) Катет \( b = 4 \cdot 4 = 16 \text{ (см)} \) Ответ: 12 см, 16 см.